Lösen von z^5 = -243 (trigonometrisch & exponential)

Question

Lösen Sie die Gleichung z^5 = -243 und stellen sie das Ergebnis sowohl in der trigonometrischen als auch in der Exponentioalform dar. Hinweis: denken sie nicht nur an reelle Lösungen.

Answer 1

Aus meiner Sicht ist die Gleichung schon fast fertig gelöst.

Du nimmst jetzt einfach die 5. Wurzel von -243.
z= -3


Das kannst du im Taschenrechner eingeben. Die Frage ist eigentlich was hoch 5 gibt -243

Comments

Was ist mit den komplexen Lösungen?

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normalerweise wenn die Wurzel negativ ist z.b

Wurzel aus -9 nimmt man den Betrag und multipliziert die Wurzel mit i.

also Wurzel aus 9 mal i = 3i

Aus meiner Sicht gibt es hier aber keine komplexen Lösungen, weil die Wurzel negativ sein darf den es ist die 5. Wurzel. nur bei den geraden Wurzeln darf keine negative Zahl vorkommen oder hast du die Lösungen? Steht da vielleicht +/- 3i?

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Es gibt außer dieser einen reellen Lösung noch vier komplexe.

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Hast du die 4 Lösungen, wenn ja kannst du sie aufschreiben, vielleicht komme ich auf die Lösung wenn ich die Zahlen sehe.

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Die 5 komplexen Lösungen müssten ein reguläres Fünfeck mit Mittelpunkt z=0 bilden.

Lösungen in Polardarstellung:

z₁ = -3 = 3*e^{iπ}

z₂ = 3*e^{i(3π/5)}

z₃ = 3*e^{i(π/5)}

z₄ = 3*e^{i(7π/5)}

z₅ = 3*e^{i(9π/5)}

vgl: https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E5+%3D+-243

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Die Lösungen lauten \(x_k = 3e^{\frac{2k+1}{5}\pi i}\) für k = 0,1,2,3,4.  Für k = 2 erhält man die einzige reelle Lösung  x₂ = -3.

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@Anonym: Der Betrag deiner Lösungen ist jetzt richtig. Die einzige reelle Lösung ist x = -3.

Probe: (-3)^5 = -243.