Antwort mit KI erzeugt
Lösung der Aufgabe
Um zu zeigen, dass
\( 149(s+w)(200-s-w) - (s \cdot 199(200-s-w) + 199(s+w)(100-s)) \geq 0 \)
gilt für \(1 \leq (s+w) \leq 199\) und \(0 \leq s,w \leq 100\), werden wir den Ausdruck vereinfachen und untersuchen, unter welchen Bedingungen er größer oder gleich Null ist.
Beginnen wir mit dem Ausdruck:
\( 149(s+w)(200-s-w) - s \cdot 199(200-s-w) - 199(s+w)(100-s) \)
Zuerst fassen wir die Terme ähnlich zusammen:
\( (149(s+w) - s \cdot 199)(200-s-w) - 199(s+w)(100-s) \)
Die Gleichung umgestaltet, ergibt:
\( (149s + 149w - 199s)(200-s-w) - 199(s+w)(100-s) \)
\( = (-50s + 149w)(200-s-w) - 199(s+w)(100-s) \)
Nun teilen wir die Untersuchung in Teilschritte:
1.
Teil \((-50s + 149w)(200-s-w)\): Dieser Teil kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen, abhängig von den Werten von \(s\) und \(w\). Beachte, dass, wenn \(s\) groß im Vergleich zu \(w\) ist, der Ausdruck negativ werden kann und umgekehrt.
2.
Teil \(-199(s+w)(100-s)\): Da \(-199\) ein konstanter Multiplikator ist und sowohl \(s+w\) als auch \(100-s\) immer positiv sein werden (unter den gegebenen Bedingungen), wird dieser Teil immer negativ sein oder null, wenn \(s = 100\).
Um zu beweisen, dass der gesamte Ausdruck \(\geq 0\) ist, betrachten wir die kritischen Punkte der Ungleichung:
- Wenn \(s\) nahe bei \(0\) ist, ist \(149w\) der dominierende Term im ersten Teil, was den Ausdruck wahrscheinlich positiv macht.
- Wenn \(w\) nahe bei \(0\) und \(s\) kleiner als \(100\) ist, trägt \(s\) dazu bei, dass der zweite Teil negativ ist, aber der erste Teil kann dies möglicherweise ausgleichen.
- Wenn \(s + w \leq 199\) und gerade ausreichend groß sind, wird der negative Beitrag des zweiten Teils durch positive Werte im ersten Teil ausgeglichen.
Zur Vereinfachung und um klar zu zeigen, dass der Ausdruck \(\geq 0\) ist, würden wir Normalerweise versuchen, den Ausdruck weiter zu vereinfachen oder ihn durch bekannte Ungleichungen oder Identitäten zu ersetzen. In diesem Fall ist die direkte Vereinfachung jedoch kompliziert und führt möglicherweise nicht zu einer einfachen Methode, die Gültigkeit für alle Bedingungen nachzuweisen, weil der Wert des Ausdrucks stark von den Relationen zwischen \(s\) und \(w\) abhängt.
Jedoch lässt sich erkennen, dass die Struktur des Problems und die Kombination aus Multiplikation und Subtraktion von Termen eine spezifische Balance erfordern, um sicherzustellen, dass der gesamte Ausdruck niemals negativ wird. Dies impliziert, dass spezifische Fälle oder eine numerische Überprüfung innerhalb der gegebenen Grenzen nötig wären, um absolute Sicherheit zu gewährleisten. Ein allgemeiner algebraischer Beweis für diese Ungleichung in ihrer vollständigen Form wäre von entscheidenden Identitäten oder Ungleichungsprinzipien abhängig, die hier nicht direkt ersichtlich sind.
