Bestimmen Sie für die Variablen a,b,c und d Zahlen,sodass

Question

Geradengleichungen in Parameterform:$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} b \\ 3 \\4\end{pmatrix}$$

$$h:\vec{x}=\begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\d\end{pmatrix}$$Bestimmen Sie für die Variablen a,b,c und d Zahlen,sodass sie

a) identisch sind,

b)zueinander parallell und verschieden sind,

c)sich schneiden,

d)zueinander windschief sind.

F: Kann jemand von euch die Aufgabe lösen ?

Comments

Man erkennt leider gar nix. Anders darstellen!

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g: \( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} 1\\a\\2 \end{pmatrix} \) +r *\( \begin{pmatrix} b\\3\\4 \end{pmatrix} \)

und

h:\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} c\\0\\3 \end{pmatrix} \) +s* \( \begin{pmatrix} 3\\1\\d \end{pmatrix} \)

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Super, warum nicht gleich so?

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Wusste vorher nicht wie es geht

Answer 1

Bedingungen für identische Geraden:

• Richtungsvektoren kollinear

• Stützvektor der einen Geraden befindet sich auf der anderen

Rechnung:

(1)

$$\begin{pmatrix} b \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ d\end{pmatrix}$$I. \(b=3r\)

II. \(3=r\)

III. \(4=r\cdot d\)

Aus diesen Gleichungen kann man schließen, dass \(r=3\), \(b=3r=9\) und \(d=\frac{4}{r}=\frac{4}{3}\) ist.

(2) Du kannst mit den Werten aus (1) weiterrechnen:$$\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ \frac{4}{3} \end{pmatrix}$$

(2b) LGS Aufstellen:

I. \(1=c+3s\)

II. \(a=s\)

III. \(2=3+\frac{4}{3}s\)

Lösen und Du hast es: → c=13/4 und s=a=-3/4

Gesamtgleichung:$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\-\frac{3}{4}\\2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}9\\3\\4 \end{pmatrix}$$$$h:\vec{x}=\begin{pmatrix} \frac{13}{4}\\0\\3 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\\frac{4}{3} \end{pmatrix}$$

Comments

Sorry, hatte eben noch einen Fehler drin. Nun sollte es stimmen. Kannst ja selbst nachrechnen ;)

Answer 2

Das Gleichsetzen von g und h führt zu 3 Gleichungen mit 6 Unbekannten.Davon lege ich drei willkürlich fest: a=1,b=10 und c=1. Dann ergibt sich r=3 und s=10. Damit die Geraden identisch sind muss d=1,1 sein.

Answer 3

Damit sie parallel sind, muss es ein x geben mit

$$x*\begin{pmatrix} b\\3 \\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\d \end{pmatrix}$$

also b=9 d=4/3

und damit sie identisch sind, muss (c ; 0 ; 3 ) auf der 1. Geraden liegen,

also muss es ein r geben mit

$$\begin{pmatrix} c\\0 \\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\a \\2 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 9\\3 \\4 \end{pmatrix}$$

in der 3. Koordinate hieße das

3 = 2 + 4r    also   r = 0,25   und damit

c= 3,25   und  a= -0,75 .

Also sind sie identisch im Fall

a=-0,75 b=9 , c=3,25 d=4/3.

parallel und verschieden für

b=9 d=4/3  und ( a≠-0,75  oder  c≠ 3,25 ).

Für   b≠9 oder  d≠4/3

sind sie windschief oder schneiden sich.

schneiden hieße:  Es gibt r und s mit

$$\begin{pmatrix} c\\0 \\3 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 3\\1 \\d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\a \\2 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} b\\3 \\4 \end{pmatrix}$$

Das geht wohl nur für c+3a=1.

ansonsten sind sie windschief.