Komplexe Zahlen Gleichungen

Question

Aufgabe: ich habe hier zwei Aufgaben 1.) Lösung in kartesischer Form    (z-1)/(z-2) = (1+i)/(2-i)

                 2.)Alle komplexen Zahlen die diese Gleichung erfüllen.                                  z-1+2i*z(konjugiert)-i=0

Problem/Ansatz:

Habe schon vieles ausprobiert, aber noch keinen Erfolg erzielt.

Könnte mir jemand nur den Ansatz sagen ?

Bei mir haben sich die Z immer gelöscht, sodass ich nicht nach Z auflösen konnte.

Comments

Ist  (z-1)/(z-2) = (1+i)/(2-i) eine Gleichung?

Die Formatierung ist etwas misslungen.

Answer 1

Aufgabe 2)

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Comments

wie komme ich denn auf den Ansatz, dass z=x+iy und und z‘=x-iy ist ?

Ist das dann bei jeder Aufgabe so, die in diesem „Format“ gestellt ist ?

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Ist das dann bei jeder Aufgabe so, die in diesem „Format“ gestellt ist ?

->JA

Sowas wird im Unterricht, Vorlesungen behandelt und steht auch im Internet.

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Gut zu wissen....vielen Dank

Answer 2

(z-1)/(z-2) = (1+i)/(2-i)

Wird genau so gelöst, wie in den reellen Zahlen:

    \(\begin{aligned} \frac{z-1}{z-2} & =\frac{1+i}{2-i} &  & |\,\cdot(z-2)\\ z-1 & =\frac{1+i}{2-i}\cdot\left(z-2\right)\\ z-1 & =\frac{1+i}{2-i}\cdot z-\frac{1+i}{2-i}\cdot2 &  & |\,-\frac{1+i}{2-i}\cdot z\\ z-1-\frac{1+i}{2-i}\cdot z & =-\frac{1+i}{2-i}\cdot2 &  & |\,+1\\ z-\frac{1+i}{2-i}\cdot z & =1-\frac{1+i}{2-i}\cdot2\\ \left(1-\frac{1+i}{2-i}\right)\cdot z & =1-\frac{1+i}{2-i}\cdot2 &  & |\,:\left(1-\frac{1+i}{2-i}\right)\\ z & =\frac{1-\frac{1+i}{2-i}\cdot2}{\left(1-\frac{1+i}{2-i}\right)} \end{aligned}\)

Comments

Ist alles für mich nachvollziehbar, aber wie komme ich auf die Lösung von z= (6/5)-(3/5)j ?

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Rechenregeln für komplexe Zahlen:

    (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b + d)i

    (a + bi) · (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i

    (a + bi)^-1 = 1/(a² + b²) · (a - bi)

    -(a + bi) = -a - bi

Und wie üblich ist Division die Multiplikation mit dem Kehrwert und Subtraktion die Addition der Gegenzahl.

Damit kannst du zum Beispiel (1+i)/(1-i) ausrechnen:

(1+i)/(1-i)

= (1+i) · (1-i)^-1

= (1+i) · 1/(1² + 1²) · (1 - (-1)·i)

= 1/2 · (1+i) · (1 + i)

= 1/2 · 2i

= i