Beweis Basis von K[t]

Question

Hallo hab eine Aufgabe, da komme ich nicht weiter...

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Beweisen Sie, dass A= {tⁱ | i ein Element von den Natürlichen Zahlen ist} eine Basis von K[t] ist.

Ich weiss wie die Basis definiert ist:
1. span({v_i})=V
2.  {v_i} ist linear unabhängig

Ich habe mir überlegt, dass

K[t]=0=a₀t⁰+a₁t+...+a_ntⁿ

damit es linear unabhängig ist müssen alle t gleich null sein
aber 0 hoch 0 geht nicht.

Hilfe bitte??

Answer 1

$$K[t]=0=a_0t^0+a_1t+...+a_nt^n$$

Das zeigt, dass du noch massive Probleme mit den Begrifflichkeiten hast.

Das linke Objekt kann man mit den beiden anderen gar nicht vergleichen. K[t] ist die Menge aller Polynome in der Variable t mit Koeffizienten aus K.

Eine Menge kann nicht identisch/gleich einem seiner Elemente sein, sie sind nicht mal vergleichbar.


t ist  hier eine Variable. Damit ist t keine Zahl, insbesondere kann t nicht 0 sein. (t kann den Wert 0 annehemen, dann betrachtet man aber nicht mehr das Polynom an sich, sondern den Wert des polynoms an der Stelle 0).

Mal ganz abgesehen davon, dass im Kontext von Polynomen $$0^0=1$$ gesetzt wird.


Ein Polynom ist 0 dann und nur dann wenn alle Koeffizienten 0 sind.


Wie man die Eigenschaften 1. und 2. nachweist - was übrigens nicht schwer ist, das Problem ist die Objekte zu verstehen mit denen man hantiert - hängt davon ab wie ihr K[t] definiert habt, denn da gibt es einige Möglichkeiten.

Comments

Ok?

 

Also K[t] ist in dieser Aufgabe nicht speziell formuliert. Ich weiss nur, dass sind die Menge aller Polynome mit den Koeffizienten in K.

Trotzdem, weiss ich nicht wie weiter lösen.

Also so wie ich das verstanden habe, sind die a_i die Koeffizienten und muss die dann gleich 0 setzen. Dann ha ich mal die lineare unabhängigkeit gezeigt.

 

was mache ich aber beim span??

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Meine Frage ist ja gerade wie ihr die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus K genau definiert habt. Das steht mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit im Skript.

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mit f=a0+a1t+a2t^2+....+ant^n


sonst haben wir nichts mehr darin behandelt. deswegen habe ich auch Mühe mit den Polynomen...