Bestimmen Sie eine Basis von \operatorname{null}(T) und eine Basis von \operatorname{range}(T) .

Question

(a) Sei \( T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}), \mathbb{R}^{2 \times 2}\right) \) definiert durch
\(T\left(a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e\right)=\left(\begin{array}{cc} a-2 b & d+e \\ e-b & 0 \end{array}\right) .\)
Bestimmen Sie eine Basis von \( \operatorname{null}(T) \) und eine Basis von \( \operatorname{range}(T) \).

Answer 1

\(a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \in  \operatorname{null}(T) \)

<=>   a-2 b=0  und d+e=0  und e-b=0

<=>  a-2 b=0  und d+b=0  und b=e  

<=>  a=2 b und d=b  und e=b

Also sehen die Elemente in  \( \operatorname{null}(T) \) so aus

\(2bx^{4}+b x^{3}+c x^{2}+b x+b  \)

Eine Basis also z.B. \(2x^{4}+x^{3}+ x+1  ,  x^{2}  \)