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Beweiß des Cauchyschen Grenzwertsatzes
Der Cauchysche Grenzwertsatz ist ein fundamentaler Satz in der Analysis, der besagt, dass eine Folge genau dann konvergent ist, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Eine Cauchy-Folge ist dadurch definiert, dass zu jedem \(\epsilon > 0\) ein Index \(N\) existiert, so dass für alle \(m, n > N\) gilt: \(|a_n - a_m| < \epsilon\). Der Satz sichert also, dass eine Folge konvergent ist, wenn die Glieder der Folge ab einem bestimmten Punkt beliebig nahe beieinanderliegen. Hier ist der Beweis:
Zu Zeigen: Eine Folge \((a_n)\) im \(\mathbb{R}\) konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
Beweis:
1. Konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen
Annahme: Die Folge \((a_n)\) konvergiert gegen \(a\).
Beweis: Nach Definition der Konvergenz, für jedes \(\epsilon > 0\), existiert ein \(N\), sodass für alle \(n > N\) gilt, dass \(|a_n - a| < \frac{\epsilon}{2}\). Wählen wir \(m, n > N\), dann beachten wir folgende Abschätzung:
\(|a_n - a_m| = |a_n - a + a - a_m| \leq |a_n - a| + |a - a_m|\)
Da sowohl \(n\) als auch \(m\) größer als \(N\) sind, gilt:
\(|a_n - a| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{und} \quad |a_m - a| < \frac{\epsilon}{2}\)
Fügt man diese zusammen, erhält man:
\(|a_n - a_m| \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon\)
Dies zeigt, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchy-Folge ist.
2. Cauchy-Folgen sind konvergent
Annahme: Die Folge \((a_n)\) ist eine Cauchy-Folge.
Beweis: Der Beweis, dass jede Cauchy-Folge konvergent ist, benötigt das Axiom der Vollständigkeit der reellen Zahlen, welches besagt, dass jede nicht-leere, nach oben beschränkte Menge von reellen Zahlen ein Supremum in \(\mathbb{R}\) hat.
Da \((a_n)\) eine Cauchy-Folge ist, ist sie insbesondere beschränkt, d.h., es existiert ein \(M > 0\), so dass \(|a_n| \leq M\) für alle \(n\). Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat jede beschränkte Folge in \(\mathbb{R}\) eine konvergente Teilfolge. Sei \((a_{n_k})\) eine solche konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert \(a\).
Wir müssen nun zeigen, dass die gesamte Folge \((a_n)\) gegen \(a\) konvergiert. Für jedes \(\epsilon > 0\), wegen der Cauchy-Eigenschaft von \((a_n)\), existiert ein \(N_1\), so dass für alle \(n, m > N_1\) gilt:
\(|a_n - a_m| < \frac{\epsilon}{2}\)
Da \((a_{n_k})\) gegen \(a\) konvergiert, existiert auch ein \(N_2\), so dass für alle \(k > N_2\) gilt:
\(|a_{n_k} - a| < \frac{\epsilon}{2}\)
Wählen wir ein \(N = \max(N_1, N_2)\). Für jedes \(n > N\), können wir \(m = n_k > N\) mit \(n_k\) aus der konvergenten Teilfolge wählen und erhalten:
\(|a_n - a| \leq |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k} - a| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon\)
Daher konvergiert die gesamte Folge \((a_n)\) gegen \(a\), was zeigt, dass jede Cauchy-Folge in \(\mathbb{R}\) konvergent ist.
Zusammenfassung:
Der Cauchysche Grenzwertsatz stellt eine grundlegende Verbindung zwischen der Konvergenz von Folgen und dem Konzept der Cauchy-Folge her. Der Beweis nutzt die Eigenschaften der reellen Zahlen, insbesondere das Vollständigkeitsaxiom, und zeigt die Äquivalenz von Konvergenz und der Cauchy-Eigenschaft in \(\mathbb{R}\).
