Zeigen Sie, dass dies für x>0 die Ungleichung 1/2 (x + 1/x)≥1 gilt.

Question

Man zeige, dass für x>0 die Ungleichung 1/2 (x + 1/x)≥1 gilt.

Answer 1

 

1/2 * (x + 1/x) ≥ 1

x/2 + 1/(2x) ≥ 1

Da x > 0, können wir beide Seiten mit 2x multiplizieren: 

x² + 1 ≥ 2x | -2x

x² - 2x + 1 ≥ 0 | 2. binomische Formel

(x - 1)² ≥ 0

Besten Gruß

Comments

reicht das schon und bin ich damit schon fertig?

vielen lieben dank!

lg

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Das sollte reichen. 

Du kannst die Kette ja auch von unten nach oben lesen, also

(x - 1)² ≥ 0

...

1/2 * (x + 1/x) ≥ 1

dann reicht es in jedem Falle :-)

 

Und: 

Gern geschehen :-)

Answer 2

1/2·(x + 1/x) ≥ 1
x + 1/x ≥ 2   | *x mit x > 0
x^2 + 1 ≥ 2x
x^2 - 2x + 1 ≥ 0
(x - 1)^2 ≥ 0
Das ist für alle x erfüllt.