diesen Beweis kann man direkt führen, indem man das Polynom \( Q_k(x) \) angibt:
\( Q_k(x) = \sum_{i = 0}^{k-1} x^i a^{k-1-i} \).
Eingesetzt in die Behauptung gilt:
\( (x - a) Q_k(x) = (x-a) \sum_{i = 0}^{k-1} x^i a^{k-1-i} \)
\( = \left( \sum_{i = 0}^{k-1} x^{i+1} a^{k-1-i} \right) - \left( \sum_{i = 0}^{k-1} x^i a^{k-i} \right) \)
\( = \left( \sum_{i = 1}^{k} x^{i} a^{k-i} \right) - \left( \sum_{i = 0}^{k-1} x^i a^{k-i} \right) \)
\( = x^k + \left( \sum_{i = 1}^{k-1} x^{i} a^{k-i} - x^{i} a^{k-i} \right) - a^k \)
\( = x^k - a^k \).
Damit ist der Beweis abgeschlossen. Man kann \( Q_k(x) \) durch Polynomdivision gemäß \( (x^k - a^k) / (x - a) \) konstruieren.
MfG
Mister
