Integration durch trigonometrische Substitution?

Question

Bestimme die Stammfunktion von \(f(x)=\sqrt{4x^2+1}\) : $$\int_{}^{}\sqrt{4x^2+1} \text{ dx}$$ Nun muss ich laut Integralrechner \(x=\frac{\tan(u)}{2}\) substituieren... Ich komme nicht drauf, warum ich durch zwei dividieren muss? Immer tan(x) durch die Wurzel des Vorfaktors dividieren - aber warum?

Comments

EDIT:

Ich weiß, dass man \(\sqrt{a^2+x^2}\) durch  \(\tan(Θ)\) substituiert.

Answer 1

Hallo Anton,

\(\sqrt{x^2+a^2}\)

ich weiß, dass man  bei  √(a² + x² )  mit  x = tan(u)  ...

√(4x² + 1) = √( (2x)² + 1 )   

x = tan(u) / 2   →  2x = tan(u)   ist doch dann naheliegend. 

Gruß Wolfgang

Comments

Ah, da war ich etwas blind!

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x=tan(u)/2

x'=sec²(u)/2=du/dx

----> dx=du/(sec²(u)/2))

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Integralrechner sagt was anderes.

Aber man schreibt doch du/dx...im Integralrechner aber für dx=(sec²(u))/2 du

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Also hier (ich verstehe nicht, wie man hier auf das dx kommt):

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sec(u) = 1/cos(u)

Du kannst die Ableitung  du/dx  berechnen und nach dx umstellen.

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Ich habe gerade herausgefunden, dass es viel entspannter ist eine Hyperbolische Substitution zu machen:

x=sinh(u)/2  → u=arcsinh(2x)

u'=2/cosh(u)=du/dx

dx=cosh(u)/2$$\int_{}^{}\frac{\cosh(u)\cdot \sqrt{\sinh^2(u)+1}}{2} \text{ du}$$ Dann \(\sinh^2(u)+1=\cosh^2(u)\):$$=\frac{1}{2}\int_{}^{}\cosh^2(u) \text{ du}$$ Dann entsprechend die Reduktionsformel verwenden - Profit!

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<<erledigt>>