\( s_n = \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}} \) und \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}} \) = e
Beh.: |e - sn | < \( \frac{1}{n!n} \) ∀n ∈ ℕ
Beweist du durch vollständige Induktion über n.
Für n=1 hast du |e - s1 | = | e - (1/0!) - 1/1! | = e - 2
und wegen e<3 ist e-2 < 1 = 1 / ( 1! * 1 ) .
Gelte es nun für n, also \( |e -\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}} | <\frac{1}{n!n} \) dann folgt:
\( |e - s_{n+1} | = |e -\sum\limits_{k=0}^{n+1}{\frac{1}{k!}} | \)
\( =\sum\limits_{k=n+2}^{\infty}{\frac{1}{k!}} \)
\( =\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}{\frac{1}{k!}} - \frac{1}{(n+1)!} \)
\( < \frac{1}{n!n} - \frac{1}{(n+1)!} \)
\( = \frac{n+1}{(n+1)!*n} - \frac{n}{(n+1)!*n} \)
\( = \frac{1}{(n+1)!*n} \)
\( < \frac{1}{(n+1)!*(n+1)} \) q.e.d.
