Untersuchung und Flächenberechnung mit einer Gebrochenrationale Funktion

Question

Aufgabe:

a)Gegeben ist f(x) = (2x²+5)/(3x²) 
Untersuchen Sie f(x) auf Symmetrie, Polstellen, Asymptoten, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Skizzieren Sie anschliessend den Graphen im Bereich [-5;5].

b)Zeigen Sie, dass F(x) = (x³-5)/(3x) eine Stammfunktion von f(x) ist.

c)Der Graph von f(x), der Graph von h(x) = (2/3) x und die Geraden x = 1 und x = a (mit a>1) begrenzen eine Fläche auch für a gegen Unendlich.

d)Die Gerade g(x) = mx (mit m > 2/3) schneidet den Graphen von f(x) im Punkt P (s / t). Zeichnen Sie die Graphen y = t und x = s. Für welches m wird die Fläche, die diese beiden Geraden und die beiden Koordinatenachsen einschliessen, minimal?

Problem/Ansatz:

Ich konnte a), b) und c) berechnen bin mir aber bei den Lösung nicht sicher bei d) komme ich nicht weiter.

Ich wäre dankbar für eure Lösungsvorschläge.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Eine eingeschlossene Fläche soll minimal werden.

Stichworte: fläche,integral,parameter,integralrechnung,funktion

Aufgabe:

Die Gerade g(x) = mx (mit m > 2/3) schneidet den Graphen von f(x) = (2x^3+5)/(3x^2) im Punkt P(s/t). Für welches m wird die Fläche, die diese beiden Geraden und die beiden Koordinatenachsen einschliessen, minimal?

Problem/Ansatz:

Ich habe zwei Ansätze, die zu Problemen führen. Der erste ist, dass ich beginne mit

$$ A = s \cdot f(s)$$ dies dann ableite und danach in g(s)=f(s) einsetze.

Der zweite ist folgendes Gleichungssystem:

$$ 1. m \cdot s = \frac{2s^3+5}{3s^2} → s = \frac{5^{(1/3)}}{(-2 + 3 m)^(1/3)} \\ 2. t= ms \\ 3. A = s \cdot t = s\cdot m \cdot s = m \cdot (\frac{5^{(1/3)}}{(-2 + 3 m)^(1/3)})^2 $$

3. jetzt ableiten und gleich null setzen und auflösen...

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Schau mal hier, Teilaufgabe d)

https://www.mathelounge.de/600614/untersuchung-flachenberechnung-gebrochenrationale-funktion

Answer 1

Hallo Jobro,

der Flächeninhalt des Rechtecks, das minimal werden soll, hat die Längen s = x und t = f(x), also A = x * f(x), also

$$x\cdot \frac{2x^{2}+5}{3x^{2}}$$

Hiervon bildest du die 1. Ableitung und setzt sie = 0, um den Tiefpunkt zu bestimmen.

Das Ergebnis für x = s in die Ausgangsgleichung einsetzen, um y = t zu bestimmen.

Beide Werte in die Gleichung y = mx einsetzen und nach m auflösen.

Gruß, Silvia

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Vielen Danke Silvia

Answer 2

"Ich habe leider keinen Ansatz"

ZU KEINER TEILAUFGABE?

Berechne wenigstens die Polstellen und die Nullstellen selbst.

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Sorry. Ich war gerade am Ende mit Tippen auf der Tastatur. 

Answer 3

Du schreibst: "die Fläche, die diese beiden Geraden und die beiden Koordinatenachsen einschliessen"

Sicher meinst du "Graphen" statt "Geraden".

Da der Graph von f bei x=0 eine doppelte Nullstelle hat, schließen die Graphen und die positive y-Achse für m>1 eine Fläche ein, die nach oben offen ist.