C-Vektorraum - Lineare Abhängigkeit

Question

Liebe Community, 

kann mir jemand sagen wie ich die lineare Abhängigkeit von v1 = (2,3,0,0)^T v2 = (0,0,2,0)^T und v3 = (-3,2,-2,-2)^T über C zeigen kann? 

Für C gilt: C = \( \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} \) mit x,y ∈ ℝ

Answer 1

Zeige dass die Gleichung

    λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃ = 0

nicht eindeutig lösbar ist. Das geht unmittelbar aus der Definition der linearen Abhängigkeit hervor.

Übrigens, die von dir angegebenen Vektoren sind linear unabhängig. Das heißt obige Gleichung ist eindeutig lösbar.

Comments

Vielen Dank für die Rückmeldung. Wie man die Unabhängigkeit/Abhängigkeit von Vektoren zeigt ist mir klar. Leider ist mir nicht klar wie ich den Teil mit dem C berücksichtigen soll. 

Wie mache ich das? 

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Für C gilt: C = \( \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} \) mit x,y ∈ ℝ

Üblicherweise werden die Elemente von C in der Form

        x + iy

geschrieben. Dann können die Rechengesetze der reellen Zahlen verwendet werden und man braucht nicht auf Matrizenrechnung zurückgreifen. Dabei ist zu beachten, dass i² = -1 ist. Insbesonder ist i eine Konstante und keine Unbekannte.

Die Gleichung kann somit geschreiben werden als

    (λ_1,r + iλ_1,i)v₁ + (λ_2,r + iλ_2,i)v₂ + (λ_3,r + iλ_3,i)v₃ = 0

wobei λ_1,r, λ_1,i, λ_2,r, λ_2,i, λ_3,r und λ_3,i reelle Zahlen sind.

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Vielen Dank für die Rückmeldung. Kannst du mir vielleicht sagen, wie beispielsweise der erste Vektor v1 = (2,3,0,0)T in der von dir beschriebenen Darstellung aussehen würde?

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Der würde so aussehen: \( \begin{pmatrix}2\\3\\0\\0 \end{pmatrix} \).

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Kann gelöscht werden

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Mehr nicht? Hat das C also keinen großen Einfluss sodass ich einfach: λ1*\( \begin{pmatrix} 2\\3\\0\\0 \end{pmatrix} \) + λ2* \( \begin{pmatrix} 0\\0\\2\\0 \end{pmatrix} \) + λ3*\( \begin{pmatrix} -3\\2\\-2\\-2 \end{pmatrix} \) = 0 prüfen?  

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Oder ist der Ansatz: 

(a1 + i*a2)*v1 + (a3 + i*a4)*v2 + (a5 + i*a6)*v3 = 0 ? 

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Hat das C also keinen großen Einfluss

Das C hat keinen Einfluss darauf, welche Gleichung untersucht werden muss.

Es könnte natürlich darauf Einfluss haben, welche Lösungen das Gleichungssystem hat. Deshalb musst du wissen, wie Addition und Multiplikation in C definiert sind.

In deinem Fall sind die Lösungen aber genau die selben wie in ℝ.

Aus der vierten Gleichung folgt λ₃ = 0 (weil Körper nullteilerfrei sind). Aus der dritten Gleichung folgt dann λ₂ = 0 (ebenfalls Nullteilerfreiheit). Wegen der ersten Gleichung muss dann auch λ₁ = 0 sein. Also sind die Vektoren lienare unabhängig.

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Hi Oswald, danke für die Rückmeldung! Kannst du mir kurz sagen, welche du mit der "dritten Gleichung" meinst? :)

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Ich hab mein Kommentar noch ein mal überarbeitet (Ich hatte die Reihenfolge verwechselt).

Die Gleichung kann als Gleichungssystem mit vier Gleichungen und drei Unbekannten geschreiben werden:

    2a + 0b - 3c = 0
    3a + 0b + 2c = 0
    0a + 2b - 2c = 0
    0a + 0b - 2c = 0

Dann muss c = 0 sein, unabhängig davon welchen Körper man zugrunde legt.