C-Vektorräume, Lineare Abhängigkeit

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie: Jeder n-dimensionale C-Vektorraum kann als 2n-dimensionaler R-Vektorraum
aufgefasst werden. Geben Sie Vektoren in C² an, die linear abhängig über C, nicht aber
über R sind.
(b) Sei V ein C-Vektorraum und U ein C-Untervektorraum von V . Ist für jeden R-Komplementärraum
W von U auch L_c(W) ein C-Komplementärraum von U?

Problem/Ansatz:

Ich wäre für einen Denkanstoß oder eine Vorrechnung sehr dankbar.

Answer 1

Zeigen Sie: Jeder n-dimensionale C-Vektorraum kann als 2n-dimensionaler R-Vektorraum
aufgefasst werden.

Sei V ein n-dim C-Vektorraum.

==>  Es gibt eine C-Basis für V, also Vektoren

v1,...,vn für die gilt:

Für alle v∈V gibt es z1,...,zn aus C mit

   v = z1*v1 + …. + zn*vn

und wenn man die zi in Re- und Im-Teil zerlegt

   v = (a1+i*b1)*v1 + …. + (an+i*bn)*vn

      = a1v1 + ... + anvn + b1*(iv1) + …. bn*(ivn) .

Also bilden v1,...,vn, iv1, … ,ivn ein ℝ - Erz.system für V.

Leicht zeigst du auch: wegen der C-Linearen Unabhängigkeit

sind sie auch R- linear unabhängig.  Bilden also

ein R-Basis für V ==>  dim_R(V) = 2n

Geben Sie Vektoren in C^2 an, die linear abhängig über C, nicht aber
über R sind.

$$v{1}=\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$$$v{2}=\begin{pmatrix} i\\i \end{pmatrix}$$
                   

Comments

Vielen Dank, konnte die Aufgabe jetzt verstehen