Sei \( a \in \mathbb{R} \). zz. \( (1,a) \) linear abhängig \( \iff \) \( a \in \mathbb{Q} \)
"\(\implies\)": Sei (1,a) linear abhängig, dann existieren \( \lambda_1, \lambda_a \in \mathbb{Q} \) (Wir sind in einem \( \mathbb{Q} \)-Vektorraum!) mit \( (\lambda_1, \lambda_a) \neq (0,0) \) (d.h. nicht alle Koeffizienten sind 0) s.d.
$$ \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_a \cdot a = 0 \iff \lambda_a \cdot a = - \lambda_1 \cdot 1 $$
Angenommen \( \lambda_a = 0 \), dann ist \( \lambda_1 \neq 0 \), aber aus der obigen Gleichheit folgt direkt \( -\lambda_1 \cdot 1 = 0 \implies \lambda_1 = 0 \). Widerspruch.
Somit ist \( \lambda_a \neq 0 \) und $$ \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_a \cdot a = 0 \iff a = \frac{- \lambda_1 \cdot 1}{\lambda_a} $$ a ist somit ein Bruch rationaler Zahlen und deshalb selbst rational.
"\(\impliedby\)": Sei \( a \in \mathbb{Q} \).
Falls \(a = 0 \) ist \( (1,a)=(1,0) \) linear abhängig, da es den Nullvektor enthält.
Falls \( a \neq 0 \) ist $$ \underbrace{a}_{:=\lambda_1} \cdot 1 + \underbrace{(-1)}_{:=\lambda_a} \cdot a = 0 $$ eine nichtriviale Linearkombination der 0, folglich ist \( (1,a) \) linear abhängig.
