Endlich dimensionale Vektorräume -> Lineare Abbildung

Question

bei der folgenden Aufgabe komme ich leider überhaupt nicht weiter. Ich hoffe, dass jemand einen Lösungsansatz für mich finden kann.

Seien V und W endlichdimensionale Vektorräume über einem Körper K und f : V → W eine
lineare Abbildung. Zeigen Sie:

(a) f ist injektiv genau dann, wenn es eine lineare Abbildung g gibt mit g ◦ f = idV .
(b) f ist surjektiv genau dann, wenn es eine lineare Abbildung g gibt mit f ◦ g = idW .
Folgern Sie hieraus, dass für A ∈ Km×n gilt:

(c) Es gibt eine Matrix B ∈ Kn×m mit AB = Im genau dann, wenn die Zeilen von A linear
unabhängig sind.
(d) Es gibt eine Matrix B ∈ Kn×m mit BA = In genau dann, wenn die Spalten von A linear
unabhängig sind.

Mit den Rechner kann ich diese lineare Abbildung nicht darstellen und komme so leider auch nicht weiter.
Im Internet konnte ich auch nicht wirklich was dazu finden.

Answer 1

a)  f Injektiv ==>  ZU jedem x∈V gibt es genau ein y ∈ W mit y = f(x).

==>   Also gibt es zu jedem y ∈ f(V) genau ein x∈V mit f(x)=y

==>  Es gibt eine Abbildung g : f(V) → V mit g(y) = f(x) , also

gilt  g o f = id_V  und die Linearität folgt aus der Linearität von f.

umgekehrt:

Sei g eine Abbildung mit  g o f = id_V  und  u und w aus V mit f(u) = f(w)

==>              g(f(u)) =  g(f(w))

==>              id_V(u) = id_V(w)

==>                      u = w     also f Injektiv.

vielleicht gelingt dir so ähnlich auch b).