Situation:
Ich lese im Buch Gerd Fischer (Seite 89/90) die Definition des Austauschlemmas und dann gibt es später einen Austauschsatz.
Ich habe aber Schwierigkeiten das zu verstehen. (Zu technisch gehalten)
Und vor Allem kann ich die Begriffe Austauschlemma und Austauschsatz nicht auseinander halten.
Was ich verstehe ist:
Wenn ich einen Vektorraum \(V\) gegeben habe und \(V\) durch eine Basis \(B = (v_1, ... ,v_n)\) erzeugt wird,
so kann ich eine beliebige Linearkombination \(w = a_1*v_1, ..., a_n*v_n\) daraus bilden. \(w\) ist ein Vektor in \(V.\)
Jetzt kann ich gemäss Austauschsatz/Austauschlemma aus der Basis \(B = ( v_1, ... , v_n ) \) einen Vektor rausnehmen, (sagen wir \(v_n\)) und dann ist \(B\) keine Basis von \(V\) mehr (da unberkürzbar) aber wenn ich jetzt \(v_n\) statt rausnehmen durch \(w\) austausche habe ich eine neue Basis
\(B' = ( v_1, ... , w )\) von \(V\) und das \(v_n\) lässt sich durch \(B'\) linearkombinieren.
Frage:
a) Habe ich mindestens die Aussage dahinter Verstanden ?
b) Oder brauche ich mehr Wissen zu dem Thema für zum Beispiel eine Linalg-Prüfung zu schreiben ?
