Gradient einer Funktion

Question

hier meine Aufgabe:

Es sei f : ℝ³ -> ℝ, (x,y,z) -> x² + 2y² + 3z² + 4x + 5yz + 6z

a) Seien x,y,z ∈ ℝ. Bestimme grad(f(x,y,z)).

b) Für welche (x,y,z) ∈ ℝ³ ist grad(f(x,y,z)) = (0,0,0)?

Bei a habe ich den Vektor (2x+4, 4y+5z, 6z+5y+6) rausbekommen.

Bei b weiß ich aber nicht weiter. Kann mir jemand bitte helfen?

Answer 1

Aloha :)

$$\text{grad}f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{array}\right)\left(x^2+2y^2+3z^2+4x+5yz+6z\right)=\left(\begin{array}{c}2x+4\\4y+5z\\6z+5y+6\end{array}\right)$$

Zum Auffinden der Nullstelle des Gradienten musst du das folgende Gleichungssystem lösen:

$$\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2x+4\\4y+5z\\6z+5y+6\end{array}\right)$$Die Lösung ist \((-2;-30;24)\).