Gradient einer Funktionale

Question

Gegeben ist die euklidische Norm f: R^2 -> R

durch f(x,y) := ||(x,y)|| = sqrt(x^2 + y^2).

a) Bestimme den Gradienten (grad f) Element R^2

b) Bestimme die Norm des Gradienten

c) Interpretiere die Norm und Richtung des Gradienten geometrisch & skizziere den Gradienten

a) (grad f)(x,y) = ( x / ||(x,y)||, y / ||(x,y)||)

b) Die Norm ist 1 mit Nutzung der euklidischen Formel

c)

Geometrische Interpretation:

Der Gradient ist geg. als:

(grad f)(x,y) = ( x / ||(x,y)||, y / ||(x,y)||)

 = (x,y)/ ||(x,y)||.

D.h. der Gradient ist jeder Vektor (x,y) ≠ (0,0) in normiert und damit hat es die Norm 1 immer.

Richtung: D.h. wegen der Norm 1, ist die Grösse der maximalen Richtung 1.

Wäre das bis jetzt erstmal richtig?

Was ich nicht verstanden habe, wie skizziert man den Gradienten?

Answer 1

Aloha :)

(1) und (2) hast du richtig.

Der Gradient ist der Einheitsvektor \(\vec r^0\), verläuft also parallel zum Radiusvektor, sodass er senkrecht auf den Kreislinien mit festem Radius um den Ursprung herum steht. Die maximale Änderung erfährt die Funktion daher, wenn man sich senkrecht zu den Kreisflächen nach außen bewegt, also radial vom Urprung entfernt.

Male also ein paar Kreislinien mit unterschiedlichem Radius. Die Gradienten beginnen auf den Kreislinien, zeigen radial vom Urpsrung weg und haben alle die Länge \(1\).