Gradient von Funktionen.

Question

Könnte jemand bitte bei der Aufgabe helfen?

Text erkannt:

(1) Berechnen Sie die Gradienten der folgenden Funktionen (für \( d \in \mathbb{N}, y \in \mathbb{R}^{d} \) ):
(a) \( f_{1}: \mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto\langle y \mid x\rangle \)
(b) \( f_{2}: \mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto|\langle y \mid x\rangle|^{2} \)
(d) \( f_{4}: \mathbb{R}^{d} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \frac{1}{\|x\|_{2}} \)
(c) \( f_{3}: \mathbb{R}^{d} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto\|x\|_{2} \)
(e) \( f_{5}: \mathbb{R}^{d} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \frac{1}{2 \pi} \log \|x\|_{2} \)

Answer 1

Aloha :)$$\operatorname{grad}f_1=\operatorname{grad}(x_1y_1+x_2y_2+\ldots+y_dx_d)=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_d\end{pmatrix}=\vec y$$$$\operatorname{grad}\left((y_1x_1+y_2x_2+\ldots+y_dx_d)^2\right)=2(y_1x_1+y_2x_2+\ldots+y_dx_d)\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_d\end{pmatrix}=2(\vec y\vec x)\vec y$$

Bei den letzten 3 Gradienten hängt die Funktion nur vom Betrag \(x\) des Vektors \(\vec x\) ab. Für solche Funktionen folgt aus der Kettenregel:$$\operatorname{grad}f(x)=\frac{\partial f}{\partial\vec x}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial\vec x}=f'(x)\cdot\operatorname{grad}\left(\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_d^2}\right)$$$$\phantom{\operatorname{grad}f(x)}=f'(x)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_d^2}}\begin{pmatrix}2x_1\\2x_2\\\vdots\\2x_d\end{pmatrix}=f'(x)\cdot\frac{\vec x}{x}=f'(x)\cdot\vec x^0$$Wir brauchen also einfach nur die Funktionen nach dem Betrag \(x\) abzuleiten und das Ergebnis mit dem Einheitsvektor \(\vec x^0\) zu multiplizieren.

$$\operatorname{grad}\left(\frac1x\right)=-\frac{1}{x^2}\cdot\vec x^0=-\frac{1}{x^3}\vec x$$$$\operatorname{grad}\left(x\right)=1\cdot\vec x^0=\frac1x\vec x$$$$\operatorname{grad}\left(\frac{1}{2\pi}\ln(x)\right)=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac 1x\cdot\vec x^0=\frac{1}{2\pi x^2}\vec x$$