Warum Eisenstein nicht einsetzbar?

Question

Aufgabe:

Warum kann man die Eisensteinbedingung für das Polynom X^4+2X^2+3 e Q[X] nicht anwenden?

Problem/Ansatz:

kann man nicht mit p=2 über Z argumentieren und dann noch Gauß dazu nehmen?

weil 2 kein Teiler von 1 ist, 2^2 kein Teiler von 3 und 2 aber 2 teilt, müsste es doch eigentlich möglich sein Eisenstein anzuwenden. In der Vorlesung haben wir aber gesagt, das geht nicht. Ich bin für jeden Tipp dankbar! :)

Answer 1

weil 2 kein Teiler von 1 ist, 2^2 kein Teiler von 3 und 2 aber 2 teilt, müsste es doch eigentlich möglich sein Eisenstein anzuwenden. In der Vorlesung haben wir aber gesagt, das geht nicht.

Alles richtig, aber 2 muss jeden Koeffizienten (bis auf den Leitkoeffizienten) teilen.

$$ a_n x^n +\dotsm + a_1 x + a_0 \in\mathbb{Z}[x]$$

Dann muss gelten$$ p \not\mid a_n $$ $$ p^2 \not\mid a_0 $$$$ p \mid a_i,\quad i=0,...,n-1 $$ Deshalb scheitert es für \( p=2\) bei \(2\nmid 3\).

Comments

ah danke! Dann hab ich wohl die Definition zu schnell überflogen!