Ist der Vektor n senkrecht zur Ebene E?

Question

Aufgabe: Die Punkte A(-6|1|4] B(-5|0|6) C(-10|1|5) liegen in einer Ebene E. Gegeben sind des weiteren die Punkte P(-1|3|2) und Q(5|6|5)

1) Bestimmen Sie einen Vektor n^ senkrecht zur Ebene E

2) Bestommen Sie eine Gleichung der Gerade h durch den Punkt P, die die Ebene E senkrecht schneidet. Berechnen Sie den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden h

e) Bestimmen Sie die Länge der Strecke PS, dh. den Abstand des Punktes P zu der Ebene E .

Problem/Ansatz:

1) n^ =(1/9/4)

2) S(-1,153/1,622,1,388)))

Habt ihr Ideen für diese Aufgaben und den Rechenweg ? danke!

Answer 1

1) Bilde das Vektorprodukt der Vektoren AC und AB.

2)  Gerade durch P mit Richtungsvektor n ist

               -1                   1
g:   x =     3      +   s *    9
                2                   4

schneide sie mit der Ebene E: 1*x + 9*y + 4z = 19

gibt   (-1+s) +9*(3+9s) + 4*(2 +4s) = 19

gibt s = -15/98 ≈  - 0,153

in die Geradengleichung einsetzen gibt

Schnittpunkt  S(-1,153/1,622,1,388)))

Answer 2

Deine Überschrift:
Ist der Vektor n senkrecht zur Ebene E?

Aufgabe: Die Punkte A(-6|1|4] B(-5|0|6) C(-10|1|5) liegen in einer Ebene E. Gegeben sind des weiteren die Punkte P(-1|3|2) und Q(5|6|5)

Du willst offensichtlich bloss das Resultat 1) n^ =(1/9/4) kontrollieren.

Berechne die Skalarprodukte: n*AB und n*AC

Falls bei beiden Rechnungen 0 herauskommt und AB nicht parallel zu AC ist, ist n tatsächlich senkrecht auf der Ebene E.  

2) Bestommen Sie eine Gleichung der Gerade h durch den Punkt P, die die Ebene E senkrecht schneidet. Berechnen Sie den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden h

Was ist über die Gerade h bekannt?

e) Bestimmen Sie die Länge der Strecke PS, dh. den Abstand des Punktes P zu der Ebene E .