Bruchgleichung mit mehr als 3 Lösungen 1/(x-a) + 1/(x-b) + 1/(x-c)

Question

Aufgabe:

$$\begin{array} { l } { \text { Es sei } a < b < c . \text { Zeigen Sie, dass die Gleichung } \frac { 1 } { x - a } + \frac { 1 } { x - b } + \frac { 1 } { x - c } = 7 \text { mindestens drei } } \\ { \text { verschiedene Lösungen } x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } \in \mathbb { R } \backslash \{ a , b , c \} \text { hat. } } \\ { \text { Hinweis: Definieren sie eine geeignete Funktion und betrachten Sie diese auf } ] a , b [ und ] b , c [ u n d } \\ { ] c , \infty [ . } \end{array}$$

Problem/Ansatz:

Die Funktion würde ich definieren als f(x) = (x-a) + (x-b) + (x-c), f'(x) ist dann ja = 3 und die obenstehende Gleichung kommt durch f'(x)/f(x) zustande. Mein Problem ist jetzt, wie ich weiterkomme bzw. zeigen kann, dass es mindestens 3 Lösungen für die Gleichung gibt oder ob mir meine Funktion dabei überhaupt weiterhilft.

Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Ich würde wählen

$$f(x) = \frac { 1 } { x - a } + \frac { 1 } { x - b } + \frac { 1 } { x - c }$$

Diese ist auf ]a,b[ stetig und hat für x gegen a von rechts den Grenzwert +∞ und für x gegen b

von links  den Grenzwert -∞ . Also nimmt sie auf dem Intervall alle reellen Werte an, auch den Wert 7.

Auf  ]a,c[ ist es entsprechend und auf  ] c , ∞ [  ist der Rechtsgrenzwert bei c ja +∞ und der

Grenzwert für x gegen +∞ ist 0.  Da 7 im Bereich 0 bis +∞  liegt, wird hier auch der Wert 7

angenommen, also insgesamt mindestens 3 mal.

Answer 2

Die gegebene Gleichung lässt sich umformen zu

-7·x³+(7a+7b+7c+3)·x²-(7ab+7ac+2a)·x+7abc+ac+ab+bc=0

Die Funktion

f(x)=-7·x³+(7a+7b+7c+3)·x²-(7ab+7ac+2a)·x+7abc+ac+ab+bc

hat als kubische Gleichung je nach Wahl von a,b,c bis zu 3 reelle Nullstellen.

Comments

Problem ist aber das "bis zu ".