Bestimmen Sie S_u, wobei S die Spiegelungsmatrix bei der Spiegelung an der durch (1/5,-1) erzeugten Geraden ist.

Question

Aufgabe:

a)

Sei u = (-1,5). Bestimmen Sie S_u, wobei S die Spiegelungsmatrix bei der Spiegelung an der durch (1/5,-1) erzeugten Geraden ist.

Tipp: Die Spiegelungsmatrix muss hier nicht explizit bestimmt werden.

b)

Bestimmen Sie die Spiegelungsmatrix S, die durch die Spiegelung an der durch  v = (1,-4) erzeugten Geraden definiert ist.

Answer 1

Hallo Anaja

Sei u = (-1,5). Bestimmen Sie Su, wobei S die Spiegelungsmatrix bei der Spiegelung an der durch (1/5,-1) erzeugten Geraden ist.

Kannst du dir den Punkt und die Gerade mal zeichnen. Das wäre ein guter erster Schritt.

Grundsätzlich stellt sich mir hier die Frage was v ist wenn der Vektor v eine Gerade erzeugt. Der Normalenvektor oder der Richtungsvektor. Beide Vektoren könnten eine Gerade erzeugen. Aufgrund der Aufgabe könnte man davon ausgehen, dass der Normalenvektor gemeint ist. Habt ihr das genauer definiert?

Comments

Die Geraden werden "erzeugt", nicht festgelegt.

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Genau da liegt mein Problem. Ich habe keine Mathematik studiert.

Ich weiß wie ich eine Gerade festlege. Koordinatenform oder Parameterform.

Was bedeutet ein Vektor erzeugt eine Gerade?

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Wenn du einen Vektor mit s \in R multipliziert, wird daraus eine "Gerade" bzw. die Menge der Vielfachen von v ergeben eine Gerade im R^2.

Ich habe es schon gezeichnet, aber 0 Idee.

Habt ihr das genauer definiert? Kam bisher noch nicht vor komischerweise.

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Genau so, wie Anja125 es erklärt hat, sehe ich es auch.

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Ich sehe zwei Möglichkeiten die Gerade zu definieren

Parameterform

g: X = r * [1/5, -1]

oder Koordinatenform

g: X * [1/5, -1] = 0

Wenn du einen Vektor mit s \in R multipliziert, wird daraus eine "Gerade" bzw. die Menge der Vielfachen von v ergeben eine Gerade im R2.

Dann sieht das Ganze wie folgt aus

~plot~ -5x;{-1|5};[[-12|12|-9|9]] ~plot~

Der Punkt liegt auf der Geraden und damit wird der Punkt auf sich selbst bei einer Spiegelung an der Geraden abgebildet.

Answer 2

Zur b) auch ein Bild

Wie kannst Du

- einen normierten Normalenvektor v' der Geraden erhalten und

- einen damit einen Punkt, sagen wir e2 an der Geraden spiegeln

- Lot fällen, Lotfußpunkt,  Abstand zur Gerade  ...

alles zusammen würde für einen Punkt p ergeben

\(p' :=  \, p - 2 \; \frac{v' \; p}{v'^{2}} \;v'\)

Comments

Stellt sich die Frage wie man damit auf die Spiegelungsmatrix kommen soll.
Hier mit würde ich einen Punkt erhalten.
Und dafür erst einmal zich Berechnungen durchführen.
Ich danke dir für die Hilfe, aber es muss in Anbetracht der 0,5 Punkte die es hier gibt, eine schnellere Möglichkeit geben.

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Die Spiegelmatrix besteht aus den Bildern e1',e2' der Einheitsvektoren e1,e2...

Nun, wenn Du es rechnen sollst, dann gibt es keine wesentlich sparsameren Alternativen und wenn Du Dich nicht verschrieben hast v=(1,-4), dann hast Du lauter krumme Werte..

Selbst wenn Du og. "Formel" benutzen darfst - viel Aufwand für ?% der Bearbeitungszeit?

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Unschön, ich probiere mal was und melde mich später nochmal zurück:)
Ich habe nämlich eine Idee.

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$$Gegeben\quad sei\quad der\quad Vektor\quad v=\left( \begin{matrix} 1 \\ -4 \end{matrix} \right) .\\ Zu\quad basten\quad sei\quad die\quad Spiegelungsmatrix\quad S=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.\\ Wir\quad bilden\quad den\quad orthogonalen\quad Vektor\quad v'=\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \quad und\quad können\quad \\ damit\quad vier\quad Gleichung\quad aufstellen\\ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\left( \begin{matrix} 1 \\ -4 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 \\ -4 \end{matrix} \right) ,\quad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ I:a-4b=1\\ II:c-4d=-4\\ III:4a+b=4\\ IV:4c+d=1\\ =>a=1,b=0,c=0,d=1\\ =>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=S$$
Könnte dies passen?

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Nerver mind, ich habe es nun gelöst, meine obere Lösung macht keinen Sinn:)

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Wenn man etwas über Spiegelmatrizen verwenden darf, dann wäre die Matrix zu schreiben als

\(Sa \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}a11&a12\\a12&-a11\\\end{array}\right)\)

und der Vektor v wäre ein Fixpunkt mit

\(Sa \; v = v\)

aus dem LGA würde die Lösung

\(\left\{ a11 = -\frac{15}{17}, a12 = -\frac{8}{17} \right\}  \)

zur Matrix führen

In Deinem obigen Lösungsweg müsste S (4,1) = -(4,1) zum Tragen kommen. Wie beurteilst Du den Aufwand?

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Stimmt, ich danke dir. Kann man das Ergebnis auch irgendwie prüfen, also wie geht hier die Probe?

Edit:
Obwohl ich für a11 -32/17 und -a11 1/17 habe

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Mit der Formel

$$S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-2*\frac { u{ u }^{ T } }{ { u }^{ T }u }$$

wobei u der orthogonale Vektor von v ist, also $$u=\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right)$$

Komme ich auf 
$$S=\begin{pmatrix} \frac { -32 }{ 17 }  & \frac { 8 }{ 17 }  \\ \frac { 8 }{ 17 }  & \frac { -2 }{ 17 }  \end{pmatrix}$$

Ich wüsste aber nicht, wie man es nachprüfen sollte

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In beschränken Maße könnte man einige Punkte auf der Achsengerade verwenden, um zu prüfen ob es Fixpunkte sind - besser grafisch zu überprüfen, was man rechnerisch hat. GeoGebra ware dazu ganz brauchbar.

Irgend ein Punkt

A=(4,5)

g=Gerade((0, 0) , (1, -4))

Spiegle(A, g)

und rechnerisch

S A = ((-5.882352941176), 2.529411764706)

Zur Formel u=(4,1), e1=(1,0)

\(e1' :=  \, e1 - 2 \cdot \frac{u \; e1}{u^{2}} \; u\)

\(e1' \, :=  \,  \binom{-\frac{15}{17}}{-\frac{8}{17}}\)

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Also verwende ich die falsche Formel?  Sie steht aber genau so im Skript. (siehe meine Lösung)

Also man nimmt den orthogonalen Vektor und multipliziert ihn mit dem transponierten orthogonalen Vektor

Hier mal ein Bild vom Skript

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Ich bin mir auf die Schnelle über die verwendete Nomenklatur nicht im klaren. Wie aus der Multiplikation zweier Vektoren eine Matrix entsteht? < , > könnte das Skalarprodukt sein.

Im Prinzip ist das die Formel, die ich oben auch genannt habe - in der Anwendung aber die einzelnen Vektoren e1,e2 nacheinander abbilde - wird in Deinem Skript zusammengefasst. Entweder steht in Deinem Skript eine Erklärung zu dem Vektorprodukt oder es ist fehlerhaft wiedergegeben. Vielliecht kennt jemand diese Schreibe - vielliecht komm ich mit etwas Überlegung auch dahinter - aber jetzt bin ich dann mal weg ;-)...

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Wie aus der Multiplikation zweier Vektoren eine Matrix entsteht?

\(\vec{u} \vec{u}^T\) ist das dyadische Produkt.

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Wie Salomon schon geschrieben hat, handelt es sich um das dyadische Produkt.
Wenn man einen 2x1 Vektor (v) mit einem 1x2 Vektor (v^T) multipliziert entsteht logischerweise eine 2x2 Matrix.

Das Skript dürfte nicht fehlerhaft sein, denn es ist schon seit Jahren im Umlauf und sonst wäre es den zich verschiedenen Profs schon aufgefallen, besonders weil dies eine Folie der Vorlesung ist.

@Werner-Salomon, hast du vlt noch eine Idee, was uns beiden was sagen könnte? Nun haben wir zwei Matrizen und diese sind unterschiedlich, was nicht gut ist:)

Edit ich habe gerade eine ähnliche Aufgabe in den Altklausuren gefunden und würde dies gerne einmal hier teilen:

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Hallo Anja,

Ich habe noch nicht verstanden, was mit

... bei der Spiegelung an der durch (1/5,-1)
erzeugten Geraden ist.

gemeint ist. Ist \(\begin{pmatrix} 1/5 \\ -1 \end{pmatrix}\) nun der Normalen- oder Richtungsvektor der Spiegelachse oder was anderes?

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Hallo Werner,
wir befinden uns gerade bei der zweiten Aufgabe, die erste ist mir im Moment auch etwas suspekt. Ich denke aber es ist der Richtungsvektor ist, aus dem dann die Spiegelungsgerade folgt also r*v

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Problem gelöst, die Dame hat vergessen, dass Ergebnis von der Einheitsmatrix abzuziehen, komme somit auf das selbe Ergebnis wie wächter

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Da bin ich wieder - gut, dass es sich geklärt hat und ja, da war was in eine hintere Schublade gerutscht...

Deine Formel entwicklet sich aus meiner Formel, wenn man die Einheitsvektoren e1,e2 zur Einheitsmatrix E zusammensetzt

\(p' =  \, p - 2 \cdot \frac{n_g \; p}{n_g^{2}} \; n_g)\)

\(p' =  \, E - 2 \cdot \frac{n_g \; E \; n_g}{n_g^{2} })\)

damit rutschen die beiden Normalenvektoren zusammen und wenn man das als Matrizenprodukt rechnet simmer zusammen...

Viel Erfolg

und sag der Frau "auf Vorzeichen und Vollständigkeit achten..", alles gut ;-)

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Ich habe noch nicht verstanden, was mit  

... der durch (1/5,-1) erzeugten Geraden...

gemeint ist. Ist [der Vektor] nun der Normalen- oder [der] Richtungsvektor der Spiegelachse oder was anderes?

Man sagt, der Vektor "erzeugt" die Gerade, wenn die Gerade die lineare Hülle oder der Spann des angegebenen Vektors ist. Anders ausgedrückt: Die Menge {(1/5,-1)} ist eine Basis des Unterraums "Spiegelgerade". Damit ist der angegebene Vektor natürlich der Richtungsvektor einer Parameterdarstellung der Spiegelachse. Ebenso ist es bei b).

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@Gast_az0815: Danke für die Info

Answer 3

zu b): Zur Basis $$\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 1\\-4 \end{pmatrix}$$der Spiegelgeraden (die ein von \(\overrightarrow{v}\) erzeugter Untervektorraum des \(\mathbb{R}^2\) ist), ist der Vektor $$\begin{pmatrix} \dfrac{4}{\sqrt{17}}\\ \dfrac{1}{\sqrt{17}} \end{pmatrix}$$ein leicht bestimmbarer Normaleneinheitsvektor. Damit lässt sich die gesuchte Spiegelungsmatris \(S\) dann einfach so ausrechnen:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix} \dfrac{4}{\sqrt{17}}\\ \dfrac{1}{\sqrt{17}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dfrac{4}{\sqrt{17}}&\dfrac{1}{\sqrt{17}} \end{pmatrix}\\[40pt] = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix} \dfrac{16}{17} & \dfrac{4}{17} \\ \dfrac{4}{17} & \dfrac{1}{17} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{15}{17} & -\dfrac{8}{17} \\ -\dfrac{8}{17} & \dfrac{15}{17} \end{pmatrix} = S.$$