Spiegelmatrix für Spiegelung an der vom Vektor v erzeugten Geraden? v=(1,4)

Question

Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R2 mit dem Standardskalarprodukt
<(x1,x2),(y1,y2)>:=x1y1+x2y2

und die lineare Abbildung
A:R2→R2 (x1,x2)↦A·(x1,x2)

Bestimmen Sie die Matrix A∈R2,2 so, dass die zugehörige lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor v→ erzeugten Geraden beschreibt.

v=(1,4)

Answer 1

Wir haben den Eigenvektor [1, 4] mit dem Eigenwert 1 und den Eigenvektor [4, -1] mit dem Eigenwert -1

[1, 4; 4, -1] * [1, 0; 0, -1] * [1, 4; 4, -1]^-1 = [- 15/17, 8/17; 8/17, 15/17]

Ausführlicher:

Eine Matrix [a, b; c, d] ist zu lesen wie

[a, b]
[c, d]

In der Matrix [1, 4; 4, -1] stehen meine beiden Eigenvektoren nebeneinander. Davon brauch ich noch die Inverse [1, 4; 4, -1]^1 = [1/17, 4/17; 4/17, - 1/17]

In der Matrix [1, 0; 0, -1] stehen in der Diagonalen die beiden Eigenwerte zu den Eigenvektoren.

Multipliziert man jetzt alle Drei Matrizen miteinander erhält man die Abbildungsmatrix A.