Question

Weisen Sie folgende Grenzwerte mit Hilfe einer  ε-Umgebung nach

a) $$ \lim_{n\to∞}\frac { 3n-2 }{ n
+5 } =3 $$

b) $$ \lim_{n\to∞}\frac { 4n-2 }{ 2n-5 }=2  $$

Comments

Lösung zur 1.

$$ \lim_{n\to∞}\frac { 3n-2 }{ n+5 }=3  $$

Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung $$ |g-a_n|< ε$$ für alle n ab einem Startwert n₀ erfüllt ist.

$$ |3-\frac { 3n-2 }{ n+5 } <ε$$
$$ |\frac { 3(n+5) }{ n+5 }-\frac { 3n-2 }{ n+5 }|<ε $$
$$| \frac { 3n+15 -3n+2}{ n+5 }|<ε $$
$$ |\frac { 17 }{ n+5 }|<ε $$
$$ \frac { 17 }{ n+5 }<ε*(n+5) |:ε  $$
$$ \frac { 17 }{ ε }< n+5 |-5  $$
$$ \frac { 17 }{ ε }-5 < n $$

n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens => Der Beweis ist erbracht.

 

Ich konnte aber nur zum teil folgen ..

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Vielleicht sagst du wo du Schwierigkeiten hattest zu folgen. welchen Schritt du nicht verstanden hast.

Answer 1

Ansatz dürfte klar sein

|G - an| < e

|3 - (3·n - 2)/(n + 5)| < e

auf einen Hauptnenner bringen

|3·(n + 5)/(n + 5) - (3·n - 2)/(n + 5)| < e

|(3·(n + 5) - (3·n - 2))/(n + 5)| < e

|(3·n + 15 - 3·n + 2)/(n + 5)| < e

|17/(n + 5)| < e

Linke Seite ist eh positiv also können die Betragsstriche mal weg

17/(n + 5) < e

17 < e·(n + 5)

17/e < n + 5

n > 17/e - 5

Für jedes beliebige e kann ich jetzt ein n ausrechnen, sodass die Gleichung erfüllt ist. Z.b. für e = 0.001

n > 17/0.001 - 5 = 16995