Begründen sie mit Hilfe der ε-σ Umgebung das die Funktion keinen Grenzwert an der Stelle x0=0 besitzt

Question

Sei f: ℝ→ℝ definiert durch:

f(x)={ -2  wenn x≤0

        1   wenn x>0

a) Erklären Sie anschaulich mit ε − δ Umgebungen, das lim f(x)≠1 für x→0

b) Begründen sie mit Hilfe der ε-σ Umgebung das die Funktion keinen Grenzwert an der Stelle x0=0 besitzt

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie man das formal mit der epsilon-delta Umgebung begründen beziehungsweise zeigen kann

Comments

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Epsilon-Delta-Kriterium_der_Stetigkeit

Answer 1

a)  Wäre lim f(x)=1 für x→0, dann müsste es zu jeder ε-Umgebung U von 1 eine

δ-Umgebung V von 0 geben, bei der für alle x∈V gilt f(x)∈U.

Da jede  δ-Umgebung V von 0 aber auch x-Werte enthält, die

kleiner als 0 sind, gilt für diese x-Werte f(x)=-2.

Wenn also ε<3 gewählt wird, liegen diese Funktionswerte nicht

in U.    Somit kann nicht lim f(x)=1 für x→0 gelten.

b) Ähnlich kann man auch begründen, dass es gar keinen

Grenzwert lim f(x)=a für x→0 geben kann.

Denn dann müsste es zu jeder ε-Umgebung U von a eine

δ-Umgebung V von 0 geben, bei der für alle x∈V gilt f(x)∈U.

Da jede δ-Umgebung V von 0 sowohl positive als auch

negative x-Werte enthält, kommen bei den Funktionswerten

sowohl der Wert -2 als auch der Wert 1 vor.

Der Abstand dieser beiden Zahlen beträgt 3. Wählt man

also ε<1,5 , so kann es keine ε-Umgebung U von a

geben, die beide Funktionswerte enthält.

Comments

Ah verstehe, danke!:)