Wie viele Lösungen hat 2cos(π*x/5)+1=-1 wenn x∈[-3;3]?

Question

Aufgabe:

„Die Gleichung 2cos(Pi•x/5)+1=-1 für x gilt [-3;3], hat vier Lösungen.“

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht warum diese Aussage falsch ist. Kann es mir jemand erklären?

Lieben Dank

Answer 1

warum berechnest Du nicht einfach - das ist doch immer sicher!

Einfach mal nach \(x\) auflösen:$$2\cos\left(\pi\cdot \frac{x}{5}\right)+1=-1$$$$2\cos\left(\pi\cdot \frac{x}{5}\right)=-2$$$$\cos\left(\pi\cdot \frac{x}{5}\right)=-1$$$$\pi\cdot \frac{x}{5}=\pi +2k\pi \quad, k\in \mathbb{Z}$$$$\pi\cdot x=5\pi +10k\pi$$$$x=5+10k \quad , k\in \mathbb{Z}$$ Du hast also gar keine Lösungen auf deinem Intervall, da \(5+10k>3 \quad \forall k \in \mathbb{Z}\) gilt.

Comments

Da sich die Antworten wiedersprechen habe ich die Gleichung mal bei Wolfram alpha eingegeben und deine Lösung bekommen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2cos(Pi%E2%80%A2x%2F5)%2B1%3D-1

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Die Antworten widersprechen sich nicht. Beide sagen dasselbe aus.

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stimmt, jetzt wo du es sagst fällt mir auf, es ist dasselbe. Ich muss mich verlesen haben vorher. (ich geh dann mal schlafen, dass muss die Müdigkeit sein :| )

Answer 2

deine Funktionsgleichung lautet ja \(2\cos\left( \dfrac{\pi x}{5}\right) +1=-1\). Wenn du die 1 auf die rechte Seite bringst, erhältst du -2. Also hast du \(2\cos\left( \dfrac{\pi x}{5}\right)=-2\).

Jetzt durch 2 teilen: \(\cos\left( \dfrac{\pi x}{5}\right)=-1\). Wenn wir den arccos auf beiden Seiten anwenden erhalten wir

\(\dfrac{\pi x}{5}=2\pi k + \pi,\;\; k\in \mathbb{Z}\).

Wenn du dann noch beide Seiten durch x/5 dividierst, erhältst du

\(x=10k+5\)

Setzt du nun verschiedene Werte für k ein, siehst du, dass du im Intervall [-3,3] keine Werte hast, die die Gleichung erfüllen:

\(k=0: 5 \\k=1: 15 \\k=-1: -5 \)