Von sin(π/12 (t-11,5))>1/3 zu 0,34<(π/12 (t-11,5))<2,80? Bitte diesen Schritt in Lösung der Ungleichung erklären?

Question

Könnte mir jemand bitte diesen Schritt in der Lösung dieser Ungleichung erklären?

Diese ist eine Aufgabe der Feststellungsprüfung Mathe, ich habe den Muster gesehen aber einen Schritt verstehe ich nicht. ich wäre Ihnen sehr dankbar wenn Sie es mir erklären, diese Prüfung wird entscheidend für mich sein :(

es handelt sich um eine Sinusfunktion > 33 , also folgende  Ungleichung:

3 sin (π/12 (t-11,5) ) +32 > 33 

3 sin (π/12 (t-11,5) ) > 1            

sin (π/12 (t-11,5) ) > 1/3      bis jetzt verstehe ich alles 

aber dann kommt :

sin z = 1/3 → z = 0,34  v  z= π - 0,34 =2,80 

0,34 < (π/12 (t-11,5) ) < 2,80

von diesen 2 Zeilen verstehe ich gar nichts , 

ich glaube dass der, der die Aufgabe löste meinte, er nimmt an dass z ist „(π/12 (t-11,5) )“ oder so , aber ich verstehe gar nicht den Sinn und was er gemacht hat und warum hat er subtrahiert (π-2,80), bitte könnte es mir jemand erklären?

einfach wieso kommt es zu 0,34 < (π/12 (t-11,5) ) < 2,80 ?

es war doch nur „>“!

den Rest verstehe ich weil er  dann nur dividiert dann addiert hat, um die gleichung zu lösen und zwar so: 

12/π . 0,34 < t - 11,5 < 12/π . 2,80

12/π . 0,34 +11,5 < t < 12/π . 2,80 +11,5 

12,80 < t < 22,20

aber weiß jemand bitte die Erklärung der 2 Zeilen? 

Comments

In der Musterlösung und bei allen Antworten (bisher 3) fehlt ein Hinweis darauf, dass die Lösungsmenge die Vereinigung aller Intervalle ist, deren Grenzen sich von  ] 12,80 ; 22,20 [ um ein Vielfaches von 24 (= Periode) unterscheiden.

Es sei denn, der Fragesteller hätte eine eingeschränkte Grundmenge für t unterschlagen.

---

Vom Duplikat:

Titel: Ungleichung mit Sinus

Stichworte: sinus,funktion,sinusfunktion,ungleichungen,gleichung

Aufgabe:

Sin (pi/12 (t-11,5)) > 1/3

Problem/Ansatz:

erster Teil klappt ganz gut:

pi/12(t-11,5) = sin^-1 1/3

pi/12(t-11,5)= 0,34

t-11,5 = (0,34)/(pi/12)

t-11,5= 1,30

t= 12,8

bisher ist alles klar doch es muss einen anderen Wert für x berechnet werden und der Wert soll 10,70 sein und man soll so anfangen:

pi/12(t-11,5) = pi - 0,34

Doch diesen Schritt verstehe ich nicht. Es hat irgendwie damit zu tun dass sinus kurve nach jeder pi sich wiederholt oder so und deshalb man pi von 0,34 subtrahieren soll aber das versteh ich nicht. Ich habe leider kein gutes Basiswissen was Sinus angeht im Zusammenhang mit pi.

Kann es mir jemand bitte erklären?

ich wäre dafür sehr dankbar

---

Ist 11,5 in Bogenmass gemeint?

Du hast das übrigens hier schon mal gefragt: https://www.mathelounge.de/493153/von-sin-bitte-diesen-schritt-losung-der-ungleichung-erklaren und sehr schöne Antworten bekommen. Lies alles nochmals durch.

Answer 1

Betrachte die sin-Funktion:

~plot~ sin(x); 1/3;[[0|6|-2|2]] ~plot~

und die waagerechte Linie bei  1/3 .

wenn also sin(x) kleiner als 1/3 sein soll, dann ist das x zwischen 

den beiden Werten, bei denen sin(x) = 1/3 gilt.

Und diese beiden Werte sind 0,34  und   2,80.

Das ist gemeint mit   sin z = 1/3 → z = 0,34  v  z= π - 0,34 =2,80 

Und du hast genau richtig vermutet:

er nimmt an dass z ist „(π/12 (t-11,5) )“   

Also muss  das z zwischen  0,34  und   2,80  liegen.

Und weil das z eben sozusagen nur eine Abkürzung für „(π/12 (t-11,5) )“   ist,

geht es jetzt weiter mit    0,34 < (π/12 (t-11,5) ) < 2,80 

denn das heißt ja, dass dieser Term zwischen 0,34 und 2,80 liegt.

Comments

>  0,34 < (π/12 (t-11,5) ) < 2,80  

vgl. meinen Kommentar unter der Frage

Answer 2

Du schreibst:

sin z = 1/3 → z = 0,34  v  z= π - 0,34 =2,80 

0,34 < (π/12 (t-11,5) ) < 2,80

Schaue Dir an, wie der Sinus im Einheitskreis definiert ist

Ich habe zwei waagerechte Geraden für die Werte \(\sin x=0\) und \(\sin x=1/3\) eingezeichnet. Im Bereich des blau markierten Winkels ist der \(\sin x \ge 1/3\). Nun ist

$$\arcsin \left(\frac13 \right) \approx 19,5° = \frac{\pi}{180°} 19,5° \approx 0,34 \text{rad} $$

Da die Sinusfunktion symmetrisch zu \(90°\) ist, gilt auch

$$\arcsin \left(\frac13 \right) \approx 180°- 19,5° = \frac{\pi}{180°} (180° - 19,5°) \approx 2,80 \text{rad} $$

Wenn also \(\sin\left( \pi/12(t - 11,5)\right) \lt 1/3\) sein soll, so muss das Argument des Sinus im Intervall \((0,34 \space .. \space 2,8)\) liegen. Bzw.:

$$ 0,34 \lt \pi/12(t - 11,5) \lt 2,8 $$

Gruß Werner

Comments

>  0,34 < (π/12 (t-11,5) ) < 2,80  

vgl. meinen Kommentar unter der Frage

Answer 3

sin (\( \frac{π}{12} \) (t-11,5)) > \( \frac{1}{3} \)

Lösungsmenge besteht aus den Intervallen,in denen die schwarze Kuve oberhalb der grünen verläuft.

Comments

wie lautet die funktion von diesem Grafen? die

---

Steht doch da: f(t)=sin (π/12 (t-11,5)) (schwarze Kurve).

Die grüne Gerade hat die Gleichung y=1/3

Answer 4

pi/12(t-11,5) = pi - 0,34

Du suchst die beiden Lösungen

Du weißt die eine liegt bei x = 0.34. Du kannst jetzt sicher anhand der Skizze begründen warum die andere Lösung bei pi - 0.34 liegt oder?

Der Grah der Sinusfunktion ist Achsensymmetrisch zu x = pi/2

Comments

ich verstehe nicht, welche Stelle in der Kurve gemeint ist

---

Die Stellen der rot markierten Punkte.

---

und was ist mit dem Bereich zwischen pi und dem rechten roten Punkt?

---

und was ist mit dem Bereich zwischen pi und dem rechten roten Punkt?

Du solltest sehen das der Bereich genau so groß ist wie der Bereich zwischen 0 und dem linken roten Punkt.

---

Warum unterscheidet sich dein Graph von dem von Roland? EDIT: Habe es begriffen. Du konzentrierest dich auf

x = pi/12(t-11,5) = pi - 0,34

---

Meines ist die reguläre Sinusfunktion

SIN(pi/12·(t - 11.5)) > 1/3

wird vereinfacht über Subtstitution zu

SIN(x) > 1/3

und hier geht das im wesentlichen um die Stellen die folgende Bedingung erfüllen:

SIN(x) = 1/3

Answer 5

sin (π/12 (t-11,5) ) > 1/3

ersetzen
z =π/12 (t-11,5) )
sin ( z ) > 1/3
Die Stelle feststellen
sin ( z ) = 1/3  | arcsin ()
z = arcsin ( 1/3 )
Taschenrechner ( auf Bogenmass gestellt )
z = 0.34

Bis zum Hochpunkt der sin - Funktion
bei π / 2 ist es von x =.0.34
π / 2 - .0.34 = 1.23

Die andere Stelle  liegt bei
( siehe die Skizzen )
π / 2 + 1.23 = 2.8

0.34 < x < 2.8

Rückersetzen
π/12 (t-11,5) )= 0.34
t = 12.8