1) Am besten kombinierst du die beiden Gleichungen so, dass genau eine
Variable eliminiert wird. Z.B. durch
5* 1.Gleichung + 13 * 2. Gleichung, das gibt
x1 - x2 +0x3 + x4 = 0
Da die beiden Gleichungen lin. unabhängig sind, kannst du
ja zwei Variablen frei wählen ( etwa x1=s und x2=t ) und berechnest
damit x4: s - t + x4 = 0
also x4 = t - s
und mit einer der Anfagsgleichungen dann x3, etwa mit der zweiten):
8*s + 12*t +5x3 -8(t-s) = 0
8*s + 12*t +5x3 -8t + 8s = 0
5x3 = -16s - 4t
x3 = -3,2s - 0,8t
Also sehen die Lösungen alle so aus
(x1;x2;x3;x4)=(s;t; -3,2s - 0,8t;t-s)
= s* ( 1 ; 0 ; -3,2 ; -1 ) + t * ( 0 ; 1 ; -0,8 ; 1 ) .
Das gesuchte Erzsyst. ist also z.B. (Geht auch anders.)
( 1 ; 0 ; -3,2 ; -1 ) , ( 0 ; 1 ; -0,8 ; 1 ) .
2. Teil:
Dein Gleichungssystem wird von allen Vektoren aus Q^4 erfüllt.
Du ,musst dich schon an den vorgegebenen orientieren:
Die Lösungsmenge soll also aus Linearkombinationen der
beiden gegebenen Vektoren bestehen.
s*1.Vektor + t* 2. Vektor gibt:
( 5s-3t;-8s + 5t ; 8s - 5t ; -16s + 10t )
Und diese 4 Komponenten in die Gleichung vom Typ
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0 eingesetzt müssen
also immer eine wahre Aussage ergeben. Dazu braucht man
irgendwelche abcd.
a*( 5s-3t) + b*(-8s + 5t) + c*( 8s - 5t ) + d* ( -16s + 10t ) = 0
<=> s* ( 5a-8b+8c-16d) + t*(-3a +5b -5c +10d)=0
und jetzt so wählen; dass beide Klammern 0 werden, z.B.
c=0 und d=1
5a-8b = 16 und -3a ´+ 5b = -10
also a=0 und b=-2
Entsprechend mit c=1 und d=0
5a-8b = -8 und -3a ´+ 5b = 5
also a=0 und b=1 .
Dann sind die gesuchten Gleichungen
-2x2 + x4 = 0 und
x2 + x3 = 0
Diese beiden Gleichungen sind linear unabhängig
und die Lösungsmenge ist also 2-dimensional
und beide Erzeugenden von W erfüllen das
System.
