Faktorisierung von Polynomen

Question

Aufgabe:Bei der Flutung der Blaubachtalsperre verschwand auch eine Kirche im Wasser, deren Turmspitze bei niedrigem Wasserstand jedoch zu sehen ist. Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt der Talsperre in Nordsüdrichtung an der Stelle, an der die Kirche steht. Die Randlinie entspricht dem Graphen der Funktion f mit der Gleichung f (x) = 0,1 x⁴ − 2,2 x³ + 16,2 x² − 42 x − 10. Dabei entspricht eine Einheit auf der x-Achse 100 m in der Realität.

a) Berechnen Sie, wie weit Süd- und Nordufer voneinander entfernt sind, wenn der Wasserstand auf Höhe der Kirchturmspitze S (6 |−10) ist. b) Wie weit ist die Kirchturmspitze bei diesem Wasserstand vom Süd- bzw. Nordufer entfernt?

Mein 1. Lösungsansatz ist f(x) = -10 das bedeutet 0,1x⁴ - 2,2x³ + 16,2x² - 42x - 10 = -10  dies ergibt 0,1x⁴ -2,2x³ + 16,2 x² -42x = 0; durch ausklammern von 0,1x ergibt sich: 0,1x (x³ -22x² +162x -420) = 0: d.h. 1.Möglichkeit f(x) = 0 wenn x = 0; durch Faktorisieren ergibt sich nun die nächste Nullstelle

...nun meine Frage: Wie komme ich bei dem Term x³ -22x² +162x-420 auf die einzelnen Faktoren ohne alles aufwendig durchzuprobieren? Gibt es da einen Trick, um dies unter Klausurbedingungen schnell zu lösen. Durch probieren habe ich die Lösung (x-10) also Nullstelle bei x= 10 schon gefunden aber das ist sehr zeitaufwendig. Übrigens  interessiere ich mich mehr hobbymäßig für diese Aufgaben. Über Antworten würde ich mich sehr freuen. LG Klaus

Problem/Ansatz:

Answer 1

a) Berechnen Sie, wie weit Süd- und Nordufer voneinander entfernt sind, wenn der Wasserstand auf Höhe der Kirchturmspitze S(6 | -10) ist.

0.1·x^4 - 2.2·x^3 + 16.2·x^2 - 42·x - 10 = -10
0.1·x^4 - 2.2·x^3 + 16.2·x^2 - 42·x = 0
0.1·x·(x^3 - 22·x^2 + 162·x - 420) = 0 → Eine Nullstelle bei x = 0

x^3 - 22·x^2 + 162·x - 420 = 0 → Gefundene Nullstelle bei x = 10
(x^3 - 22·x^2 + 162·x - 420) / (x - 10) = x^2 - 12·x + 42
x^2 - 12·x + 42 = 0 → Keine Weiteren Nullstellen vorhanden

10 - 0 = 10 LE = 1000 m = 1 km

b) Wie weit ist die Kirchturmspitze bei diesem Wasserstand vom Süd- bzw. Nordufer entfernt?

6 - 0 = 6 LE = 600 m zum Nordufer
10 - 6 = 4 LE = 400 m zum Südufer

Answer 2

Wie komme ich bei dem Term x³ -22x² +162x-420 auf die einzelnen Faktoren ohne alles aufwendig durchzuprobieren?

Verwende ein Computerprogramm oder einen geeigneten Taschenrechner um dir den Graphen der Funktion anzuzeigen.

Falls das aus juristischen Gründen nicht möglich ist, dann kannst du mit dem Satz über rationale Nullstellen gezielter durchprobieren:

• Ist

           f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ  

  eine ganzrationale Funktion vom Grad n mit ganzzahligen Koeffizienten und einer rationalen Nullstelle q, dann ist q = r/s wobei r ein Teiler von a₀ und s ein Teiler von a_n ist.

Du brauchst also nur endlich viele Werte prüfen. In deinem Fall ist a₀ = 420 und a_n = 1. Es kommen daher nur die Teiler von 420 als rationale Nullstellen in Frage. Diese sind 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6, 7, -7, 10, -10... ach Mist, das hat dein Lehrer doch bestimmt absichtlich gemacht. Aber bei

        g(x) = x³ - 7x² - 11x + 77

kommst du dadurch schnell zum Ziel.

Für Polynome vom Grad 3 gibt es außerdem die Cardanischen Formeln. Auch für Polynome vom Grad 4 gibt es ein Verfahren, siehe Quartische Gleichung. Für Polynome ab Grad 5 gibt es im Allgemeinen keine Möglichkeit, die Lösung durch Grundrechenarten und Wurzeln auszudrücken. Wann das doch der Fall ist, ist Thema der Galoistheorie.

Answer 3

Du interessierst dich hobbymäßig für Faktorisierung von Polynomen. Dazu hätte die Angabe einiger Polynome gereicht, die du gerne faktorisieren würdest. In vollkommener Allgemeinheit würde eine Antwort den Rahmen dieses Forums sprengen. Es erforderte einen ganzen Aufsatz. Also beschränke ich mich auf das von dir angegebene Polynom x³ -22x² +162x-420. Da Faktorenzerlegung und Nullstellenbestimmung das gleiche Problem beschreiben, geht es (wie du schon erkannt hast) um die Lösung der kubischen Gleichung x³ -22x² +162x-420=0. Zur Lösung kubischer Gleichungen findest du sehr viel im Internet. Falls du einen grafikfähigen Taschenrechner benutzen willst (darfst), steht vieles im Handbuch.

Comments

Vielen Dank für Deine Hilfe...es war mir schon klar, daß ich diese Aufgabe mit einem geeigneten Taschenrechner oder einem PC Programm lösen kann. Meine Überlegung zu solchen Aufgaben war allerdings ob es möglich ist einen höherwertigen Polynom x^5....  + 42 z.B. mit einem mathematischen Verfahren (Trick) zu lösen ( also ohne technische Hilfe) oder ob man tatsächlich den ganzen Term mit einer Zahl "durchgehen" muß, um so zum einen eine Nullstelle zu finden und zum anderen die einzelnen Faktoren herauszufinden z.B.  Nullstelle bei 1 daraus folgt ein Faktor = (x - 1).

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Mathematische Standard-Verfahren zur Nullstellenbestimmung bei Polynomen gibt es bis zum dritten Grad oder in Sonderfällen auch höheren Grades (etwa durch Substitution). Wenn du Näherungsverfahren zu den Standard-Verfahren zählst, kannst du mit einigem Aufwand grundsätzlich Lösungen zu allen Gleichungen mit einer Unbekannten finden. Schon bei Polynomen vierten Grades kommst du (ohne elektronische Hilfe) nicht um einen gewissen Aufwand herum.

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Danke Dir, das hat meine Frage beantwortet!!