Bilden diese 3 Vektoren eine Basis im Q^3 oder nicht ?

Question

Aufgabe:

Es seien die folgenden Vektoren im Q³ gegeben:

Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis des Q³

Answer 1

Bestimme \(\lambda_1\), \(\lambda_4\) und \(\lambda_5\) in der Gleichung

        \(\lambda_1v_1 + \lambda_4v_4 + \lambda_5v_5 = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\).

\(\left\{v_1,v_4,v_5\right\}\) ist genau dann eine Basis von \(\mathbb{Q}^3\), wenn es eine eindeutige Lösung gibt.

Comments

Was soll denn der Vektor auf der rechten Seite sein?

---

Eine Menge M ist eine Basis eines Vektorraumes V, wenn sich jedes v∈V eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus M darstellen lässt. Der Vektor auf der rechten Seite ist genau dieses v.

---

Ja, aber es würde genügen, wenn rechts der Nullvektor steht.

---

Dazu benötigt man Einsichten über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen, die ich in meiner Antowort nicht voraussetzen wollte.

Answer 2

Alternative, falls du Determinanten verwenden darfst:

Schreibe die 3 fraglichen Vektoren nebeneinander in eine Matrix und berechne die Determinante dieser Matrix.

Die Vektoren bilden genau dann eine Basis des Q^3, wenn die Determinante nicht Null ist.