Nun zu meiner Frage: wie lässt sich beweisen, dass diese Vektoren tatsächlich eine Basis von L(A/0) bilden?

Question

Aufgabe:

Bestimme für eine gegebene Matrix A die Anzahl der Elemente einer Basis des Lösungsraums L(A/0)

Problem/Ansatz:

Hallo Leute,

ich habe folgendes Problem: wenn ein lineares Gleichungssystem gegeben ist, lässt sich das ja als Matrix darstellen. Sei das A/b. Die Elemente der Matrix sind dann ja die Koeffizienten der x'e und in der letzten Spalte der Matrix sind jeweils die Ergebnisse der Gleichungen (das ist dann der b-Teil). Nun muss ich eine Basis des Lösungsraums L(A/0) bestimmen. Dazu habe ich erstmal die Matrix A/0 gebildet und dann mit dem Gauss-Verfahren in Diagonalform gebracht. Sei diese Matrix A'/0. Nun kann es ja sein, dass A' vollen Rang hat. In diesem Fall wären die Spaltenvektoren von A' ja linear unabhängig und die einzige Lösung für L(A/0) ist ein Nullvektor. Die Basis wäre dann ja die leere Menge. Gehen wir jetzt mal aber davon aus, dass A' keinen vollen Rang hat. Dann gibt es für L(A/0) mehr Lösungen, als diese triviale Lösung. Nun kann man ja mögliche Lösungen finden, indem man A' in 4 Teile aufteilt: der eine Teil oben links, in dem die Matrix A' eine Einheitsmatrix ist, der zweite Teil unten links, in dem nur 0'llen sind. Genau dasselbe mit dem Teil unten rechts. Und dann gibt es ja noch den Teil oben rechts. Wir bezeichnen den immer als C. Um Lösungen zu bekommen, kann ich ja einfach eine neue Matrix bilden, die sich im oberen Teil aus -C zusammensetzt und im unteren Teil aus einer Einheitsmatrix. Die Spaltenvektoren dieser Matrix sind dann mögliche Lösungen und alle Vielfache sind natürlich auch mögliche Lösungen. Diese Spalten kann ich also als Elemente der Basis für L(A/0) verwenden, weil die ja auch linear unabhängig sind. Bis hierhin verstehe ich alles; auch wieso das alles so geht. Nun zu meiner Frage: wie lässt sich beweisen, dass diese Vektoren tatsächlich eine Basis von L(A/0) bilden? Linear unabhängig sind sie; nur wie kann ich zeigen, dass sich jede weitere Lösung als Linearkombination dieser Vektoren schreiben lässt?

Ich hoffe, ich habe das Problem gut genug beschrieben. Bin über jede Hilfe dankbar!

Answer 1

Hallo,

Deine Ausführung am Anfang ist nicht allgemein richtig. Wenn wir eine \(m \times n\)-Matrix haben mit m<n, kann der Rang der Matrix maximal, also m sein, aber die n Spalten sind linear abhängig - n Vektoren im \(\mathbb{R}^m\).

Zu Deiner Frage: Der Gauß-Algorithmus ist fertig mit folgende Struktur:

$$A'=\begin{pmatrix}I & C \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Dabei ist I eine r-r-Matrix, wobei r der Rang von A ist, C ist eine r-k-Matrix, wobei r+k=n ist. Wenn jetzt x die Gleichung Ax=0, also auch A'x=0 erfüllt dann gilt:

$$x=\begin{pmatrix}  -\sum_{j=r+1}^n x_j c_{1,j-r} \\ -\sum_{j=r+1}^n x_j c_{2,j-r} \\ \ldots \\ -\sum_{j=r+1}^n x_j c_{r,j-r} \\ x_{r+1} \\ \ldots \\ x_n \end{pmatrix}$$

Dafür kann ich auch schreiben:

$$x=\sum_{j=r+1}^n x_j v_j$$

wobei \(v_j\) gerade eine Spalte der von Dir beschriebenen Matrix aus \(-C\) und der darunter gesetzten Einheitsmatrix ist, also

$$v_j=\begin{pmatrix} -c_{1,j-r} \\ -c_{2,j-r} \\ \ldots \\ -c_{r,j-r} \\ 0 \\ \ldots \\ 1\\ \ldots \\ 0 \end{pmatrix}$$

Gruß

Comments

ich verstehe noch nicht, für was das x_j-n steht und deshalb auch noch nicht, wie man auf die erste Darstellung von x kommt. Könntest du dazu vielleicht noch etwas sagen? Von da aus sehe ich immerhin schonmal, dass die zweite Darstellung eine andere für die erste ist und dass die zweite sagt, dass sich jede Lösung x als Linearkombi der Spaltenvektoren der von mir beschriebenen Matrix schreiben lässt.  Ansonsten erst einmal schon mal vielen Dank!

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Die \(x_j\) sind die Komponenten von x.

Die Darstellung erhalte ich Durch Auflösen der Zeilen des Gleichungssystems A'x=0. Zum Beispiel ist ja die erste Zeile:

$$x_1+0 \cdot x_2+ \ldots 0 \cdot  x_r+c_{1,1}x_{r+1} + \ldots + c_{1,k} x_n=0$$

Das löst man dann nach \(x_1\) auf ....

Gruß

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ahaaa, jetzt geht mir ein Licht auf! Vielen Dank!