Wie weise ich nach, dass diese Vektoren Basis von R^2 bilden?

Question

Mir ist klar, dass sie eine Basis bilden...Ich hänge nur an dem letzten Schritt..

Answer 1

Deine letzten zwei Zeilen sind ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten λ₁ und λ₂. Loese es.

Comments

Dann habe ich
λ_1=y/3       λ₂=x-2*(y/3)
fertig?

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Du musst das Ergebnis noch interpretieren. Daraus, dass es für alle (x, y) eine Lösung gibt, folgt, dass {v, w} ein Erzeugendensystem ist. Aus der Eindeutigkeit der Lösung folgt, dass {v, w} eine Basis ist. Warum?

Answer 2

Für zwei Vektoren  \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) aus ℝ² ist  {\(\vec{v}\) , \(\vec{w}\)}  genau dann linear unabhängig und damit eine Basis von ℝ², wenn sich mit r,s ∈ ℝ aus der Darstellung

r * \(\vec{v}\) + s * \(\vec{w}\) = \(\vec{0}\)  zwingend  r = s = 0  ergibt: 

r * \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) + s * \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

→  für die einzelnen Koordinaten:

2r + s = 0   

3r = 0    →  r = 0

r in G1 eingesetzt  →  s = 0

Gruß Wolfgang

Answer 3

Noch eine Möglichkeit: Für r=1/3 uns s=-2/3 ist r(2;3)+s(1;0)= (0;1). Damit sind die Einheitsvektoren in Richtung der Achsen geschaffen.

Comments

Was hat das mit der Frage zu tun?