ℤ —> ℤ mit f(x)= 7x-3 injektivität, Surjektivität

Question

Kann jemand mir hierbei helfen?

Gegeben sei folgende Funktion f: ℤ —> ℤ mit f(x)= 7x-3

Untersuchen Sie die Funktion auf Injektivität und Surjektivität. Wie müssen Definitions und Wertebereich verändert werden, so dass f bijektiv wird? Geben Sie für das bijektive f die Umkehrfunktion an.

Answer 1

Die Funktion ist injektiv, weil 7x' - 3 = 7x'' - 3 ⇒ x'=x''.

Die Funktion ist nicht surjektiv weil 0 ∈ ℤ und 0 ≠ 7x - 3 für alle x ∈ ℤ.

f wird bijektiv indem man den Wertebereich auf {y∈ℤ | ∃x ∈ ℤ: y = 7x - 3} einschränkt.

Die Umkehrfunktion ist dann

        f^-1(x) = (x + 3)/7.

Die bekommt man indem man die Gleichung

        x = 7·f^-1(x) - 3

nach f^-1(x) umformt.