Gauß’sches Eliminationsverfahren über dem Körper Z7

Question

Aufgabe:

Verwenden Sie das Gauß’sche Eliminationsverfahren, um die Lösungsmenge des folgenden
Gleichungssystems über dem Körper Z7 zu bestimmen.
Hinweis: Schreiben Sie das Gleichungssystem zunächst so um, dass alle Koeffizienten durch
ihre kanonischen Repäsentanten in Z7 ersetzt werden (also 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6).

   x + 3y - 2z = 2
 2x + 4y        = 2
-3x - 5y + 2z = 2

Problem/Ansatz:

Ich wende den Hinweis an und erhalte folgendes:
1 3 5 | 2
2 4 0 | 2
4 2 2 | 2

Dann:
1 3 5 | 2
0 5 4 | 5
0 4 3 | 1

Nun würde ich normalerweise die 2. Zeile mit 1/5 multiplizieren. Aber 4/5 ist kein Element von Z, geschweige denn Z7. Heißt das jetzt, dass es für dieses LGS keine Lösung gibt? Oder übersehe ich etwas / mache ich etwas falsch?

Vielen Dank für jede Hilfe!

Answer 1

normalerweise die 2. Zeile mit 1/5 multiplizieren

1/5 ist das multiplikative Inverse der 5. 1/5 ist also dadurch definiert, dass 5·1/5 = 1 ist.

Welches Element z ∈ ℤ₇ erfüllt denn 5·z = 1? Dazu ist es sinnvoll, die Multiplikationstabelle vor sich liegen zu haben.

Tipp: 5·3 = 15.

Hinweis: Schreiben Sie das Gleichungssystem zunächst so um, dass alle Koeffizienten durch ihre kanonischen Repäsentanten in Z7 ersetzt werden

Ich weiß nicht, wie man dazu kommt, das für eine gute Idee zu halten. Es ist ja egal, welchen Representanten man verwendet. Man kann also so wie in ℤ rechnen:

\(\begin{aligned} & \begin{pmatrix}1 & 3 & -2 & 2\\ 2 & 4 & 0 & 2\\ -3 & -5 & 2 & 2 \end{pmatrix} &  & \left|\begin{matrix}\\ II-2\cdot I\\ 2\cdot III+3\cdot II \end{matrix}\right.\\ & \begin{pmatrix}1 & 3 & -2 & 2\\ 0 & -2 & 4 & -2\\ 0 & 2 & 4 & 10 \end{pmatrix} &  & \left|\begin{matrix}\\ \\ III+II \end{matrix}\right.\\ & \begin{pmatrix}1 & 3 & -2 & 2\\ 0 & -2 & 4 & -2\\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{pmatrix} &  & \left|\begin{matrix}4\cdot I+III\\ 2\cdot II-III\\ \\ \end{matrix}\right.\\ & \begin{pmatrix}4 & 12 & 0 & 16\\ 0 & -4 & 0 & -12\\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{pmatrix} &  & \left|\begin{matrix}I+3\cdot II\\ \\ \\ \end{matrix}\right.\\ & \begin{pmatrix}4 & 0 & 0 & -20\\ 0 & -4 & 0 & -12\\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{pmatrix} &  & \end{aligned}\)

Es bleiben lediglich die Gleichungen

    4x = -20
    -4y = -12
   8z = 8

die dann in ℤ₇ gelöst werden müssen.

Comments

Im Z7 ist 5 * 3 = 1

Ich multipliziere die Zeile dann also mit 3, richtig? Für den Ansatz hätte ich sicher die halbe Nacht gebraucht, danke!

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Ich multipliziere die Zeile dann also mit 3, richtig?

Ja.

Für den Ansatz hätte ich sicher die halbe Nacht gebraucht, danke!

Dann kannst du diese ja jetzt verwenden um dir den Ansatz ohne Division zu Gemüte zu führen.

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Dann ist alles geklärt, danke für die schnelle und vorallem hilfreiche Antwort!

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Ich hab noch mal Rechenfehler beseitigt.