Berechnen Sie den folgenden Grenzwert \( \lim\limits_{x\to1} \) (ln(x^(2)-1)*sin(1-x))

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

\( \lim\limits_{x\to1} \) (ln(x²-1)*sin(1-x))




Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das oben umformen soll damit ich auf das Ergebnis 0 komme. Bitte um Lösungsschritte. oder muss ich da einfach 1 einsetzen dann ist ja alles 0?

Danke

Comments

es gilt \(\lim_{x\to\infty}\left[f(x) \cdot g(x)\right] = \lim_{x\to\infty}f(x) \cdot \lim_{x\to\infty}g(x)\) Bestimme die Grenzwerte also unabhängig voneinander:$$\lim\limits_{x\to1}\sin(1-x)=\sin(1-1)=0$$ Nun ist es irrelevant, was für \(\lim\limits_{x\to1}\ln(x^2-1)\) herauskommt, da du mit \(0\) multiplizierst. Der Grenzwert ist also \(=0\).

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Nein, das ist so nicht richtig. Was ist in dem Fall "0·∞". Es handelt sich ja nicht um 0, sondern um einen Wert Nahe 0!

Answer 1

Hi,

ich würde das hier wohl so umschreiben, dass ich l'Hospital verwenden kann. Dabei kann man ln(x^2-1) auch erst vereinfachen, wenn es einem beliebt (ln(x^2-1) = ln(x-1)+ln(x+1)) und den letzten Summanden wegen Unwichtigkeit raushauen. Aber mal nach Schema F.

$$\lim \frac{\ln(x^2-1)}{\frac{1}{\sin(x-1)}}$$
Nun haben wir den Fall "0/0" und können l'Hospital anwenden.

$$\lim\frac{2x\sin^2(x-1)}{\cos(x-1)(x^2-1)}$$

Bruch splitten, damit man mal aussortieren kann.

$$2\lim\frac{x}{\cos(x-1)}\cdot\frac{\sin^2(x-1)}{x^2-1}$$
Der erste Faktor stört sich jetzt nicht an x = 1. Er wird zu 1. Für den letzten Faktor, haben wir wieder "0/0", also l'Hospital.

Das überlasse ich jetzt aber dir. Wenn ich mich nicht vertan habe, erhältst Du 2·0 = 0.

Grüße

Answer 2

alternativ:

ln(x^2-1)=ln((x+1)(x-1))≈ln(2(x-1))

sin(1-x)≈(1-x)

Damit

sin(1-x)ln(x^2-1)≈(1-x)ln(2(x-1)) nahe x=1

Es gilt: jede Potenzfunktion unterdrückt den Logarithmus. Also ergibt sich als Grenzwert 0.