Wählen Sie die reellen Zahlen a, b und c so, dass für die Matrix.. gilt.

Question

Aufgabe:

Wählen Sie die reellen Zahlen a, b und c so, dass für die Matrix

A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a & b & c \end{pmatrix} \)

gilt, dass det(A−λE₃) = 9λ−λ³. Berechnen Sie die Eigenwerte der so erhaltenen Matrix. Ist diese Matrix diagonalisierbar?
 

Problem/Ansatz:

Ich hab leider nicht wirklich eine AHnung wie ich das lösen kann meine erste Idee war folgende wenn ich das generell richtig verstanden habe mit Eigenwerten und Eigenvektoren ist das ja dann so.

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a & b & c \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 1-λ & 0 & 0 \\ 0 & 1-λ & 0 \\ 0 & 0 & 1-λ \end{pmatrix} \) =9λ-λ³

sein. Also

\( \begin{pmatrix} 1-λ & 1 & 0 \\ 0 & 1-λ & 0 \\ a & b & c-λ \end{pmatrix} \)

allerdings hilft mir das wenn das der richtige Weg ist zumindestenes aktuell nicht weiter! Ist das an sich ein brauchbarer Ansatz oder denk ich komplett falsch?

Würde mich freuen Hilfe zu bekommen.

Comments

Wieso ist die Variable des neuen charakteristischen Polynoms \(t\) anstatt von \(\lambda\)?

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Danke für denn hinweis da muss natürlich λ stehen.

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Die Eigenwerte der Polynome müssen gleich sein, richtig?

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Also wenn ich die Aufgabe richtig verstanden haben müssen die Eigenwerte nicht zwangsläufig gleich sein. Da ja die gegebene Matrix folgendes (A−λE₃) = 9λ−λ^{3} erfüllen soll! Sprich ich soll a b c bestimmen das die Bedinung erfühlt wird. Daher können die Eigenwerte gleich sein aber ein "muss" kann ich nicht aus der Aufgabe heraus lesen.

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Du hast ein Fehler bei der Matrix. Normalerweise würde man nun die Determinante berechnen. Dabei fallen bei mir aber a und b weg.

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Okay ich hab dann mal nach Sarrus berechnet und erhalte da.

c-λ^3+c*λ^2+2*λ^2-2*c*λ-λ

und habe somit wie du auch a und b weg. 

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Hinweis: \(\lambda E_3=\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{pmatrix}\).

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@spacko Danke dir. Aber hab ich das nicht schon in meinem Gedankengang drin?

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Bei dir steht \(1-\lambda\) auf der Diagonalen. Außerdem hast du noch eine 1 vergessen.

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Die hat auch meine Rechnung gesprengt! :D

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ja da stimmt weil ich doch zu \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) das λ abziehen muss weshalb dann halt immer 1- λ. Oder steh ich  gerade auf dem Schlauch. Und ja du hast recht die eine 1 hatte ich vergessen ändere ich gleich.

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Wenn du \(1-\lambda\) auf der Diagonalen hast, wäre das nicht \(\lambda E_3\), sondern \((1-\lambda)E_3\).

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ah okay. danke

Answer 1

Es ist \(\lambda E_3=\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{pmatrix}\). Du musst nun wie in \(\det(A−λE_3)\) gefordert die Determinante berechnen:$$\chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} -λ & 1 & 0 \\ 0 & -λ & 1 \\ a & b & c-λ \end{vmatrix}$$ Du kannst mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes die Determinante um eine Dimension reduzieren. Entwickle dafür nach der 2 Zeile, da dort eine Null ist :$$\chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} -λ & 1 & 0 \\ 0 & -λ & 1 \\ a & b & c-λ \end{vmatrix}=-\lambda \cdot \underbrace{\begin{vmatrix}-\lambda &0 \\ a & c-\lambda\end{vmatrix}}_{=\lambda(\lambda-c)}-1\cdot \underbrace{\begin{vmatrix} 1 & -\lambda \\ b & a \end{vmatrix}}_{=a+bx}$$$$=-\lambda^3+cx^2-bx-a$$ Wir haben also \(a=0 \quad ∧ \quad b=0  \quad ∧\quad  c=9\)

Ist diese Matrix diagonalisierbar?

Die Matrix ist diagonalisierbar, da deren charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden kann:$$\lambda^3-9\lambda=0$$$$\lambda(\lambda^2-9\lambda) \quad , \lambda_1=0$$ Des Weiteren:$$\lambda^2-9=0 \quad \Rightarrow  \lambda_2=3 \quad \vee \quad \lambda_3=-3$$ Folglich lässt sich das Polynom reduzieren zu:$$\chi_A(\lambda)=(x-3)(x+3)\cdot x$$ Damit ist gezeigt, dass die Matrix diagonalisierbar ist.

Comments

danke dir. Da ich ja auch sagen soll ob diese Matrix diagonalisierbar ist muss ich ja nun mit den für a b c ermittelten Werten prüfen, ob das cha. Polynom vollständig in Linear Faktoren zerfällt. Was es tut da ich λ₁=0 λ₂=9 λ₃=0 rausbekomm. Somit kann ich sagen das die Matrix diagonalisierbar ist.

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Du hast Glück, das habe ich gerade auch bemerkt - steht in der Antwort!

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Danke dir, hatte es erst gar nicht gelesen.

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Die Matrix ist diagonalisierbar, da deren charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden kann:

Das allein reicht leider nicht.

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Guter Hinweis. Man muss noch die Transformationsmatrix berechnen, deren Spalten die Basen der Eigenräume sind - weißt Du wie das geht @noxa?

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Hier langt die Tatsache, dass die Matrix drei paarweise verschiedene Eigenwerte hat.

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Also stimmt alles soweit - das freut mich zu hören! Dieses Argument kann @noxa noch hinzufügen. Das ist die wohl leichtere Begründung.

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@ racine_carrée das weiß ich nicht. Ich dachte das sei die einzige Bedingung. Kannst du  kurz noch erklären, warum in diesem Fall es reicht das die Matrix drei paarweise verschiedene Eigenwerte hat. Weil ich muss es ja bei ähnlichen Aufgaben auch wissen und bisher nahm ich wirklich an das wenn ich das charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegen kann. Die Matrix diagonalisierbar ist. Wenn das nicht zutrifft dann wäre sie eben nicht diagonalisierbar.

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Das ist vollkommen richtig.

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ja aber Spacko meinte doch dass "charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden kann" alleine nicht reicht um eine diagonalisierbarkeit zu zeigen. Es aber in dem Fall der Aufgabe ausreicht. Darauf hattest du ja auch geschrieben das man noch die Transformationsmatrix berechnen muss etc. (das kenn ich noch nicht)

Woran habt ihr beide nun gesehen das es genügt, dass das charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegt wird und somit die Matrix diagonalisierbar ist.

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Du hast in deinem Fall "Glück" , da alle Lösungen des charakteritischen Polynoms sich unterscheiden. Wäre das nicht der Fall und du hast eine doppelte Lösung, so müsstest du die Transformationsmatrix bestimmen.