Dieses System hat die Lösungen A=B=C=0 (egal, nach welchem Verfahren). Der Zusatz (A + B + C = 1) kann nicht erfüllt werden.
Ja ja - die Mathematiker. Die nehmen alles so genau; was ja auch richtig ist. Es gibt da aber noch die praktische Sicht auf die Dinge. Ich nehmen mal an, dass es sich bei dem obigen Gleichungssystem um eine Übergangsmatrix handelt. Die Werte sind wahrscheinlich gerundet!
Das Problem ist, dass die Spaltensummen \(\ne 1\) sind. Ich manipuliere die Übergangsmatrix \(U\) etwas:$$U^* = \begin{pmatrix}\colorbox{#ffff00}{0.74}& 0& 0.27\\ 0.1& 0.38& 0.35\\ 0.16& \colorbox{#ffff00}{0.62}& 0.38\end{pmatrix}$$so dass die Spaltensummen exakt \(=1\) sind und erhalte:$$\begin{pmatrix}A\\ B\\ C\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0.37483\\ 0.26422\\ 0.36095\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0.37\\ 0.26\\ 0.36\end{pmatrix}$$... wieder gerundet versteht sich. Probe mit der Originalmatrix mit den gerundeten Werten:$$\begin{pmatrix}0.73& 0& 0.27\\ 0.1& 0.38& 0.35\\ 0.16& 0.63& 0.38\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0.37\\ 0.26\\ 0.36\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0.37\\ 0.26\\ 0.36\end{pmatrix}$$auf 2 Stellen hinter dem Komma gerundet ist das Ergebnis korrekt!
Man kann einen stabilen Wert auch ganz anders bestimmen. Man wählt einen beliebigen Startwert - z.B.:$$A = 0,35; \space B = 0,52 ; \space C = 0,13$$(s. Kommentar unten) und multipliziert damit die Matrix und mit dem Resultat wieder usw. Dazwischen normiert man den Vektor derart, dass die Koordinatensumme immer =1 ist. Man erhält (auf 2 Nachkommastellen gerundet):$$\begin{pmatrix} 0,35 \\ 0,52 \\ 0,13 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0,29 \\ 0,28 \\ 0,43 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0,33 \\ 0,29 \\ 0,39 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0,34 \\ 0,28 \\ 0,38 \end{pmatrix} \dots $$nach ca. 8 Schritten hat man das oben beschriebene Ergebnis.
Gruß Werner
