Wie löse ich diese Gleichung richtig? 1/12 x (x-4)^2 = x (x-4) Äquivalenzumformung

Question

Aufgabe:

$$\quad \frac{1}{12}\cdot x\cdot (x-4)^2=x\cdot(x-4)$$

Problem/Ansatz:

$$\quad \frac{1}{12}\cdot x\cdot (x-4)^2=x\cdot(x-4) \quad \mid -x \cdot(x-4)$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{12}\cdot x\cdot (x-4)^2 -x \cdot (x-4) = 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{12} \cdot x^3 -8x^2 + 16x^2 - x^2 + 4x = 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{12} \cdot x^3 + 7x^2 + 4x = 0$$

Ab hier komme ich mit der Umformung nicht weiter (ist das überhaupt bis jetzt alles richtig?). Wäre cool, wenn mir jemand die Lösung aufzeigen könnte.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Äquivalenzumformung Problem

Stichworte: äquivalenzumformung

Aufgabe:

$$\frac{1}{12} \cdot x \cdot (x-4)^2 = x \cdot (x-4)$$

Problem/Ansatz:

$$\quad\frac{1}{12} \cdot x \cdot (x-4)^2 = x \cdot (x-4)$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{12} \cdot x^3 -8x^2 + 16x^2 = -x^2 +4x$$

Ich habe die Terme ausgeklammert aber komme bei der restlichen Umformung nicht weiter. Kann mir jemand vielleicht einen Tipp/Hinweis geben? Mir ist durchaus bewusst, dass es einen kürzeren Weg zur Lösung der Aufgabe gibt aber ich möchte so die ganze Sache mit dem ausklammern etc nochmal ausführlicher durchgehen/üben.

MfG

Answer 1

\(\dfrac{1}{12}x\cdot (x-4)^2\) ausmultipliziert ergibt \(12x^3-96x^2+192x\).

Subtrahierst du nun davon \(x^2-4x\) erhältst du \(\dfrac{1}{12}x^3-\dfrac{5}{3}x^2+\dfrac{16}{3}x=0\) Klammerst du nun x aus (da die Gleichung kein absolutes Glied aufweist), erhältst du \(x\left(\dfrac{1}{12}x^2-\dfrac{5x}{3}+\dfrac{16}{3}\right)=0\)

Laut dem Satz des Nullprodukts ist ein Produkt genau dann null, wenn einer der beiden Faktoren null ist.

⇒ \(x=0 \Rightarrow x_1=0\)

oder \(\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{-5x+16}{3}=0\) ⇒ quad. Gleichung lösen mit pq/abc-Formel.

Du erhältst \(x_2=4,\: x_3=16\)

Comments

In der ersten Zeile sollte wohl 'ausmultipliziert' statt 'ausgeklammert' stehen.

Laut dem Satz des Nullprodukts ist ein Produkt null, wenn einer der beiden Faktoren null ist.

Da es hier um Äquivalenzumformungen geht, sollte da wohl in jedem Fall 'genau dann wenn' stehen.

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Da hast du natürlich recht, ich habe es angepasst.

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Ich habe eine leicht abweichende Lösungsmenge. Kontrolliert mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2+x+(x-4)%5E2+%3D+x+(x-4)

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Der Faktor lautet \(\dfrac{1}{12}\) und nicht \(\dfrac{1}{2}\). Das war wohl ein Tippfehler deinerseits.

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Danke. Wird korrigiert.

Und klar: LateX -> Klartext ist halt anfällig für Übetregungsfehler.

Noch eine Bitte: Links zu Duplikaten bitte vollständig angeben. Z.B. so https://www.mathelounge.de/460075/vektoren-teil-zwei-vektoren-sind-genau-dann-orthogonal-wenn oder https://www.mathelounge.de/460075

Der Schliessmechanismus akzeptiert die Nummer allein nicht. Zudem kann ich bei einer Nummer allein weniger schnell prüfen, ob das ein Duplikat ist, wie wenn du den Link angibst. Hier ist z.B. die Nummerierung 2019 wichtig für die aktuellen Antworten.

Answer 2

Bringe alles auf eine Seite, damit die andere Null wird. Klammere dann x aus.

PS: Das machst du am besten mit deiner Ausgangsgleichung. Dann kannst du sogar x(x-4) ausklammern.

Comments

Pluspunkt von mir. So kann man sich die "quadratische Gleichung" sparen und hat x=0 sowie x = 4 direkt.

1/12 x (x-4)^2 = x (x-4)

1/12 x (x-4)^2 - x (x-4) = 0       | x(x-4) ausklammern

x(x-4) (1/12  (x-4) - 1) = 0

1/12 x ( x-4) (x - 4 - 12)

1/12 x(x-4)(x-16) = 0

L = {0, 4, 16}

(Bitte selber nachrechnen!)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F12+x+(x-4)%5E2+%3D+x+(x-4) 

Answer 3

Aufgabe $$ \dfrac{1}{12} \cdot x \cdot (x-4)^2 = x \cdot (x-4) $$

Problem

Die bislang gemachten Vorschläge sind unnötig aufwändig.

Ansatz

Multiplikation der Gleichung mit 12 ergibt $$ x \cdot (x-4) \cdot (x-4) = x \cdot (x-4) \cdot 12 $$ Zerlegen ergibt $$x=0 \quad \lor\quad x-4=0 \quad\lor\quad x-4=12$$ und schließlich $$ x=0 \quad \lor\quad x=4 \quad\lor\quad x=16. $$