Wie funktioniert diese Äquivalenzumformung?

Question

$$\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le \dfrac{1}{\sqrt{n_o}} \lt \epsilon \Leftrightarrow \dfrac{1}{n_0} \lt \epsilon^2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{\epsilon^2} \lt n_0  $$

Kann mir jemand vielleicht die nötigen Schritte erklären, durch die man diese Äquivalenz bekommen hat? Den Rest verstehe ich aber ich habe riesen Probleme mit Umformungen im Allgemeinen.

MfG EC.

Answer 1

Bei welcher der folgenden Umformungen hast du denn Probleme?

1 / √n0 < ε

1 / n0 < ε^2

1 < ε^2 * n0

1 / ε^2 < n0

 

Comments

Eigentlich bei allen. Umformungen sind meine größte Schwäche.

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Du darfst mit beiden Gleichungen untre bestimmten Umständen das Gleiche machen damit du eine äquivalenzumformung erhältst

Du darfst beide Seiten quadrieren, wenn z.B. beide Seiten positiv sind.

Ist 1 / √n0 > 0 und wenn ja warum.

ist ε > 0 und wenn ja warum.

Da das beides Erfüllt ist dürfen wir quadrieren

1 / √n0 * 1 / √n0 < ε * ε

1 / n0 < ε^2

Wir dürfen auch beide Seiten mit einer positiven Zahl (z.B. n0) multiplizieren oder beide Seiten durch eine positive Zahl (z.B. ε^2) dividieren

1 < ε^2 * n0

1 / ε^2 < n0

Also ist das eine Äquivalenzumformung.

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Hey Danke schon mal soweit konnte ich dir folgen aber was ist mit der $$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$$ passiert?

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Ich wollte dir nur die Gleichung erklären die du dort stehen hast. Die haben das n einfach ignoriert und nur n0 und ε ins Verhältnis gesetzt.

Aber was soll ich sagen. Das deine Zeile die du da stehen hast wenig sinn macht, weil man eigentlich ein n sucht, sodass alle Folgeglieder in der ε-Umgebung liegen?

Aber so wie ich das mit n0 gemacht habe, kannst du das auch genauso mit n machen

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Danke für deine Hilfe jetzt macht alles Sinn!!

Answer 2

Vorsicht!

Quadrieren ist KEINE Äquivalenzumformung, da hier nicht bekannt ist, ob n positiv ist.

Es gilt nur die Hinrichtung. Sonst wird dann nach n0 umgestellt.

Comments

nicht bekannt ist, ob n positiv ist

Muss man dir alles extra dabeischreiben ?

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Man sollte das schon richtig machen und nicht einfach so das hinschreiben. Ist zwar pingelig, aber muss sein. Also nicht ausrasten.

Ich wollte halt diesen wichtigen Aspekt nicht untertauchen lassen.

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Du hast meinen Kommentar nicht verstanden.

Es ist sehr wohl bekannt, dass n positiv ist auch ohne dass es explizit dabeisteht.

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Und wo steht das???

Ich weiß schon, worum es hier geht, da mir sowas selbst oft über den Weg gelaufen ist. Aber man muss das auch von weiter oben betrachten.

Jetzt verstanden, was ich meine?

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Und wo steht das???

Hier :  $$ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \le \dfrac{1}{\sqrt{n_o}}  $$

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Ja da schon. Aber wenn man es andersrum betrachtet, also

$$ \frac{1}{n}<\epsilon^2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon $$

Gilt das immer? Nein.

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Diese ganze Diskussion ist doch letzten Endes völlig überflüssig, da die Umformung im Rahmes eines Kontextes gesehen werden muss, aus dem klar hervorgeht, dass n und n_(0) natürliche Zahlen sind.