Äquivalenzumformung (a ^ b) -> c <=> (a -> c) v (b -> c) beweisen.

Question

Wie löse ich diese Aufgabe?

Beweisen Sie mittels Äquivalenzumformung:

(a ^ b) -> c <=> (a -> c) v (b -> c)

Answer 1

Wir haben die folgende Wahrheitstabellen:

a	b	c	a ∧ b	a → c	b → c	(a ∧ b) → c	(a → c) ∨ (b → c)
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	0	0	0	0
1	0	1	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	0	1	1	1
0	0	1	0	1	1	1	1
0	1	0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	1	1	1

Comments

Beweisen Sie mittels Äquivalenzumformung

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Es gelten folgende Eigenschaften: $$p\rightarrow q \equiv \neg p \lor q \\ p \land (q\lor r) \equiv (p \land q)\lor (p\land r) \\ p\lor (q\land r )\equiv (p\lor q ) \land (p\lor r ) \\ \neg (p\lor q )\equiv \neg p \land \neg q \\ \neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$$

Wir haben also folgendes:

$$\left(a\land b \right)\rightarrow c \\ \equiv \neg \left(a\land b \right) \lor c  \\ \equiv \left(\neg a \lor \neg b \right)\lor c \\ \equiv \neg a \lor \neg b \lor c \\ \equiv \left(\neg a \lor c \right) \lor \left(\neg b \lor c \right) \\ \equiv \left(a\rightarrow c \right) \lor \left( b \rightarrow c \right) $$