Integral warum braucht es Ober und Untersumme und warum braucht es beim Volumen von Rotationskörpern nur eine Summe?

Question

Ich beschäftige mich gerade mit dem Thema Volumen von Rotationskörpern mittels Integral berechen, nun habe ich gelesen, dass die Approximation bei einem Integral ja mittels Ober und Untersumme erfolgt.

Ich verstehe das aber nicht ganz, kann die Approximation an die Fläche, nicht auch durch den Grenzwert einer Summe erfolgen?

Beim Volumen approximiert man ja auch in dem man für die Teilintervalle jeweils einen Funktionswert auswählt.

Was habe ich nicht verstanden? Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Integral warum braucht es Ober und Untersumme

Weil sie unterschiedlich sein können:

        \(f: [0,1] \to \mathbb{R}, x\mapsto  \begin{cases}1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{cases}\)

Jede Obersumme ist 1, jede Untersumme ist 0. Folgerung ist, dass \(f\) nicht integrierbar ist.

und warum braucht es beim Volumen von Rotationskörpern nur eine Summe?

Vielleicht weil davon ausgegangen wird, dass die Funktion integrierbar ist. Dann haben Ober- und Untersumme den gleichen Grenzwert. Von nicht-integrierbaren Funktionen berechnet man das Volumen des Rotationskörpers nicht.

Beim Volumen approximiert man ja auch in dem man für die Teilintervalle jeweils einen Funktionswert auswählt.

Das ist ein etwas anderer Integralbegriff.

Man kann das Integral einerseits als Grenzwert der Ober- oder Untersummen definieren. Eine Funktion ist in diesem Fall integrierbar, wenn Grenzwert von Ober- und Untersumme übereinstimmen. Dieser Ansatz stammt von Jean Gaston Darboux.

Man kann das Integral auch über Zwischensummen definieren (sogenannte Riemann-Summen). Eine Funktion ist in diesem Fall integrierbar, wenn der Grenzwert der Zwischensummen gegen den gleichen Wert konvergiert. Dieser Ansatz stammt von Bernhard Riemann.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort

Dass heisst, um festzustellen ob eine Funktion integrierbar ist, bildet man den Grenzwert mit Ober- und Untersumme, und wenn dieser gleich ist, ist die Funktion integrierbar und wenn ich weiss, dass eine Funktion integrierbar ist, dann kann ich mit einer Summe rechnen, da diese Summen ja dann gleich sind?

Jetzt noch eine Frage, es kam bisher kein Beispiel für eine nichtintegrierbare Funktion, diese müssten ja dann die gleichen Bedingungen wie für die Ableitung erfüllen, da jede Stammfunktion eine Ableitung hat und wieder eine Stammfunktion, resp. selbst eine Ableitung ist, kann ich davon ausgehen dass jede Funktion die ableitbar ist auch integrierbar ist und umgekehrt, wenn f ungleich 0 ist oder gibt es da noch anderes zu beachten?

Bei der Ableitung bildet man ja den Grenzwert von h gegen 0 (steigung des graphen an einem Punkt) und beim Aufleiten sucht man die Fläche unter dieser funktion in dem man die Teilintervalle gegen unendlich gehen lässt bis (jedes intervall so zu sagen aus einem Strich besteht und somit die Fläche definiert).

Also wäre jede 2. Ableitung einer Stammfunktion eine Steigung? Wenn man im Koordinatensystem eine Funktion betrachtet die eine Parabel als Graphen hat und bei -2 und 2 die Nullstellen hat.

Vielen Dank

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um festzustellen ob eine Funktion integrierbar ist, bildet man den Grenzwert mit Ober- und Untersumme

Das ist korrekt.

und wenn ich weiss, dass eine Funktion integrierbar ist, dann kann ich mit einer Summe rechnen, da diese Summen ja dann gleich sind?

Nun ja, der Grenzwert ist gleich. Natürlich sind Ober-, Unter- und Zwischensumme nicht gleich. Aber wenn deren Grenzwerte für Intervallbreite→0 gleich sind, dann ist die Funktion integrierbar und der Grenzwert heißt Integral.

es kam bisher kein Beispiel für eine nichtintegrierbare Funktion

Die Funktion \(f\) aus meiner Antwort ist ein solches Beispiel.

diese müssten ja dann die gleichen Bedingungen wie für die Ableitung erfüllen

Welche Bedingungen meinst du?

kann ich davon ausgehen dass jede Funktion die ableitbar ist auch integrierbar ist

Ja. Jede ableitbare Funktion ist stetig und jede stetige Funktion ist integrierbar.

und umgekehrt

Nein. Die Weierstraß-Funktion f(x) = ∑_n=0..∞ 1/2ⁿ · cos(12ⁿ·π·x) ist überall stetig (also integrierbar), aber nirgends ableitbar.

Also wäre jede 2. Ableitung einer Stammfunktion eine Steigung?

Steigung(sfunktion), Stammfunktion und zweite Ableitung zu sein, sind Rollen, die eine Funktion einnehmen kann. Betrachtet man nur eine einzige Funktion, dann ist es sinnlos, zu fragen ob es eine Stammfunktion, zweite Ableitung oder Steigungsfunktion ist. Für sich betrachtet ist

        f(x) = x³

einfach nur eine Funktion. Erst wenn sich die Funktion

        g(x) = 3x²

dazugesellt, ist f eine Stammfunktion von g und erst wenn sich

        h(x) = 1/20·x⁵

dazugesellt ist f die zweite Ableitung von h.

Answer 2

Du kannst genauso das Volumen über ein Integral aus Ober- und Untersumme- Abschätzen. Die Abschätzung macht man eigentlich zunächst nur einmal bei der Einführung des Integrals. Danach brauchst du nur noch eine Abschätzung, falls du keine Stammfunktion ermitteln kannst. Meist langt da ja eine Abschätzung, auch wenn diese zu klein bzw. zu groß ist. Es geht ja dann nur darum, dass du zeigst, dass du es grundsätzlich verstanden hast. Dann wäre es nur unnötige Arbeit immer Ober- und Untersumme zu berechnen.

Man muss ohnehin bei der Berechnung von Ober- und Untersumme aufpassen, ob die Funktion monoton ist oder nicht. Zur einfachen Abschätzung langt es dann meist auch die Rechteckshöhe immer an der linken Seite zu ermitteln. Das darf man bei wechselnder Monotonie ja nicht.