Affine Abbildung Bestimmen.

Question

gegeben ist die folgende affine Abbildung

α: R² -> R²: v -> \( \begin{pmatrix} -4  / +4√(2) \\ +4√(2)  / -8 \end{pmatrix} \)v + \( \begin{pmatrix} +12√(6) \\ +12√(3) \end{pmatrix} \),

sowie das folgende affine Koordinatensystem von R².

G= (\( \begin{pmatrix} +0 \\ +0 \end{pmatrix} \); (1)/(√(6))*\( \begin{pmatrix} -√(2) \\ +2 \end{pmatrix} \),     (1)/(√(6))\( \begin{pmatrix} +12√(6) \\ +12√(3) \end{pmatrix} \)      ),

Bestimmen Sie die Beschreibung der affinen Abbildung α bezüglich des Koordinatensystems G.

Antwort

_Gα_G (v)=  \( \begin{pmatrix} +??/ ?? \\ +?? / ?? \end{pmatrix} \)v + \( \begin{pmatrix} +?? \\ +?? \end{pmatrix} \)

Comments

Hallo immai,

Die Zahlen sind andere, aber die Aufgabe ist ansonsten identisch zu dieser hier. Schau Dir bitte die Antwort an und versuche möglichst genau zu schildern, wo Du nicht weiter kommst.

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danke

nun ja bei der Rechnung selbst, ich weiss nicht so recht wie ich die homogen aufstellen und dann berechnen soll-.

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ich habe meine Antwort ergänzt (s.u.).

Answer 1

Hallo immai,

Die Lösung ist: $${_G\alpha_G}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2:\space v \to \begin{pmatrix} -12 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} v + \begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt 6\end{pmatrix}$$

Den Lösungsweg habe ich im Prinzip hier beschrieben. Weißt Du, was homogene Koordinaten sind?

Bei einer gegebenen affinen Abbildung oder einer affinen Koordinatentransformation (was dasselbe ist!) wie diese hier:$$v \to \begin{pmatrix} -4  & 4\sqrt 2 \\ 4 \sqrt 2  & -8 \end{pmatrix} v + \begin{pmatrix} 12 \sqrt 6 \\ 12 \sqrt 3 \end{pmatrix}$$fügt man eine weitere Reihe (Dimension) Koordinaten ein. Unter jeder Richtung (das ist die Matrix vor \(v\)) wird eine \(0\) geschrieben und unter jeder Position (der Offset hinter \(v\)) eine \(1\). Dadurch erhält man eine lineare Abbildung. Das Ergebnis sei \(v'\). Dann ist $$v' = \begin{pmatrix} -4  & 4\sqrt 2 & 12 \sqrt 6\\ 4 \sqrt 2  & -8 & 12 \sqrt 3  \\ 0&0&1\end{pmatrix} \cdot v$$wobei \(v\) und \(v'\) auch eine \(1\) als dritte Koordinate bekommen, da es Positionen sind.

Für die affine Koordinatentransformation gilt das gleiche:$$G: \space \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}; \space \frac 1{\sqrt 6}\begin{pmatrix} -\sqrt 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \space \frac 1{\sqrt 6}\begin{pmatrix} 12 \sqrt 6 \\ 12 \sqrt 3\end{pmatrix}\right)$$

$${_EK_G}: \space {_Ev} = \begin{pmatrix} -1/\sqrt 3 & 12 & 0\\ 2/\sqrt 6 & 12 / \sqrt 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot {_Gv}$$ ... und damit kann jetzt 'ganz normal' rechnen.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank.

also homogen war soweit ich verstanden habe

f(g(h(x))) = (f°g°h)(x)

das eine auf den anderen abgebildetet?

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kommt da wirklich ne sqrt(6) raus?

keine gerade zahl?

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kommt da wirklich ne sqrt(6) raus?

Ich habe das mit einem Tabellenkalkulationsprogramm gerechnet. Wenn ich alle Werte richtig abgetippt habe ist es \(\sqrt 6\). hast Du was anderes?

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also homogen war soweit ich verstanden habe
f(g(h(x))) = (f°g°h)(x)

Nein - das ist es nicht. Es geht um homogene Koordinaten. Lies Dir mal dies durch - das ist sehr kurz und knackig.

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ich habe einen vektor falsch geschrieben

G= ((+0+0); (1)/(√(6))*(−√(2)+2),    (1)/(√(6))(+12√(6)+12√(3))      )

der letzte müsste sein.

G= ((+0+0); (1)/(√(6))*(−√(2)+2),    (1)/(√(6))(+2 +√(2))      )

G = \( \begin{pmatrix} +0 \\ +0 \end{pmatrix} \);  1/\sqrt{6}\( \begin{pmatrix} -\sqrt{2} \\ +2 \end{pmatrix} \), 1/(√(6))  \( \begin{pmatrix} +2 \\ +\sqrt{2} \end{pmatrix} \);

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Ich habe einen Vektor falsch geschrieben. Der letzte müsste sein.: $$G: \space \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}; \space \frac 1{\sqrt 6}\begin{pmatrix} -\sqrt 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \space \frac 1{\sqrt 6}\begin{pmatrix} 2 \\ \sqrt 2\end{pmatrix}\right)$$

In diesem Fall ist die Lösung:$${_G\alpha_G}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2:\space v \to \begin{pmatrix} -12 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} v + \begin{pmatrix} 0 \\ 36\end{pmatrix}$$