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Brauche auch hier zu hilfe und bitte ausführlich ;)

Bild Mathematik


Vielen Vielen Dank

Immai

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Beste Antwort

Hallo immai,

Ich gehe davon aus, dass Du die Aufgabenteile (a), (b) und (c) allein hin bekommst - spätestens nach diesem Bild sollte es klar sein.

Bild Mathematik
 

Aus dem Bild oben kann man unmittelbar die Koordinaten von \(P\) bezogen auf \(F\) und \(G\) heraus lesen.

$$ _FP=\begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix} \quad _GP=\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix}$$

(d) Ich weiß nicht wirklich, welche Schreibweise für die Koordinatentransformationen \( _Ek_F\) und \(_Ek_G\) erwartet wird. ich nehme aber an, Ihr gebt die Rotationsmatrix \(A\) und die Verschiebung \(t\) an. Homogene Koordinaten habe ich (leider) in Deinen Unterlagen nicht gesehen.

In diesem Fall kann man es einfach abschreiben:

$$ _Ek_F: \quad  _Ex = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \cdot _Fx + \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}$$

$$ _Ek_G: \quad  _Ex = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \cdot _Gx + \begin{pmatrix} -1 \\ -1\end{pmatrix}$$


geht noch weiter ....

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vielen vielen dank schon mal^^

habs noch nicht ganz durch gelesen.

habe ich in der zeit mit eigenvektoren versucht schlau zu machen und zu lernen.


falls du mal nachher reinsehen willst.^^

https://www.mathelounge.de/416097/aufgabe-abbildungen-reichen-eigenvektor-schaffe-alleine

Hoffentlich packe ich das alles ^^

nur noch 16/24 std. mathe ist grad bei angesagt. ausser 8std nix anderes^^

ich kann dir auch nicht genug danken^^

Oh - Mist ich kann die Antwort nicht mehr ändern - und es sind noch Fehler drin!

Bei \(F\) habe ich die Koordinaten vertauscht. Ich mache den Rest über Kommentare!

Korrektur zum Bild:
Bild Mathematik
und die (hoffentlich) richtigen Koordinaten sind:
$$ _FP=\begin{pmatrix} 3\\ 2\end{pmatrix} \quad  _GP=\begin{pmatrix} 6\\ 2\end{pmatrix}$$
Entschuldige das Durcheinander, aber ich wollte Dir schon mal einen Teil der Antwort zukommen lassen. Das war wohl ein Fehler. :-(

(e) \( _Fk_E\) und \( _Gk_E\) berechnen sich wie folgt: Die Rotationsmatrix wird invertiert und die Verschiebung ergibt sich aus der Invertierten Rotationsmatrix mal die negative ursprüngliche Verschiebung. In Formeln:
$$ _Ak_B: \quad _Ax=  A \cdot  _Bx + t$$ $$ _Bk_A: \quad _Bx=  A^{-1} \cdot  _Ax - A^{-1} \cdot t$$ damit erhält man:
$$  _Fk_E: \quad  _Fx = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5\\ 0,5 & -0,5\end{pmatrix} \cdot  _Ex$$ angewendet auf \(P\)
$$ _FP= \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5\\ 0,5 & -0,5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}$$ stimmt also mit dem 'Herauslesen' überein
$$ _Gk_E: \quad  _Gx = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \cdot  _Ex + \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$$ angewendet auf \(P\)
$$ _GP = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \cdot   \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}$$ passt also auch.
(f) \( _Gk_F\) ist die Kombination von \( _Gk_E\) und \( _Ek_F\). Mit homogenen Koordinaten wäre das jetzt total 'easy', aber ich versuche es mal, es mit \(A\) und \(t\) ausführlich  hin zu schreiben:
$$ _Gk_F: \quad  _Gx = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot { _Ex} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left(  \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}  { _Fx}  \right) + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ da in \( _Gk_E\) eine Einheitsmatrix steht und in \( _Ek_F\) die Verschiebung =0 ist, wird es ziemlich einfach $$ _Gk_F: \quad  _Gx =   \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}  { _Fx} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ zur Kontrolle setze ich mal \( _FP\) ein:
$$ _GP =   \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$$ .. scheint zu stimmen (s.o.).
Gruß Werner

ich bin das ganze nochmal durch gegangen.

die zeichnung schicke ich mit. da hab ich aber glaub mit der G was falsch gemacht.



Vielen Dank war eine sehr grosse Hilfe

immai

Hier meine zeichnung.Bild Mathematik

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