Integration vom Bruch mit 2 Variablen. f(x) = (x-y)/(x+y)

Question

Aufgabe:\( \frac{x-y}{x+y} \) nach dx aufleiten

Problem/Ansatz: Kettenregel: äußere Aufleitung mal Kehrwert der inneren Ableitung, aber ich komme nicht aufs Ergebnis des Integralrechners. Ich leite nach x auf und behandele y wie eine Zahl.

Würde mich auf eine ausführlichere bzw. in Teilen unterteilte Rechnung freuen

Answer 1

Hi,

am einfachsten geht es wahrscheinlich mit einer Polynomdivision.

$$\int \frac{x-y}{x+y} \;dx = \int 1-\frac{2y}{x+y} \;dx$$

Den ersten Summanden kann man leicht integrieren. Bei letzterem ziehe -2y vor den Bruch, dann hast Du nen einfachen Bruch, der sich mittels ln als Stammfunktion gut ausdrücken lässt.

$$\left[x-2y\ln(|x+y|)\right]$$

Alles klar?

Grüße

Comments

Den Teil mit dem Polynomdivision verstehe ich nicht, so das man das x „verschwinden lässt“. Kannst du mir das bitte erklären?

Den Rest verstehe ich 1 integrieren ist x und 2y vorziehen und SF bilden.

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Das x verschwindet ja nicht wirklich ;).

(x-y):(x+y) = 1 - 2y/(x+y)

(x+y)

____

   -2y

Nicht verwirren lassen, dass da nen y steht

Einfach wie gewohnt Polynomdivision machen. So aufgeschrieben klarer oder brauchst nochmal nen Schubs?

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Ich brauch noch mal nen Schubs wie geht Polynomdivision mit Variablen

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Betrachte das y als Zahl, wenn Dir das einfacher fällt. Nimm hier bspw mal y = 3 und schau wie sich die 3 verhält ;).