Für welche ganzen Zahlen ist der Term durch 8 teilbar

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle ganzen Zahlen n ∈ Z, fur die  n^2 − 8n + 15 durch 8 teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß dass ich -8n ignorieren kann, da dies immer durch 8 teilbar ist.

Also n^2 + 15 → Für welche n durch 8 teilbar? Durch probieren bin ich darauf gekommen dass n wahrscheinlich ungerade sein muss, aber wie kann ich das zeigen dass dies für ungerade Zahlen der Fall ist und für gerade nicht? Mit der Definiton der Teilbarkeit ( 8*k = n^2 + 15 ) komme ich nicht weiter.

Auch wenn ich für n setze:

n = 2k (gerade Zahl)

n = 2k + 1 (ungerade Zahl)

Comments

n^2 − 8n + 15

= (n-5)(n-3)

Nützt dir diese Faktorisierung etwas?

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Leider nicht.. Was genau sieht man daran?

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n= -3

und

n = -5

müsste passen.

Bestimmt sind noch weitere Werte für n möglich.

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Genau :D Aber ich muss leider nicht nur Beispiele nennen sondern alle ganzen Zahlen für die das möglich ist und genau da komme ich nicht weiter

Answer 1

8 teilt n^2 + 8n + 15

genau dann, wenn

8 teilt n^2 + 15.

Das hattest du ja schon selbst erwähnt.

Weiter gilt nun noch

8 teilt n^2 + 15-8-8 = n^2 - 1.

Hier höre ich mal auf.

PS: "-8" ergänzt.

Comments

[spoiler]

n^2 - 1          | n muss ungerade sein, damit das Resultat gerade ist.

= (n+1)(n-1)       | zwei aufeinanderfolgende gerade Zahlen werden

                               hier miteinander multipliziert.

                            Eine von beiden ist durch 4 teilbar, die andere nicht.

==> für beliebige ungerade n ist n^2 - 1 durch 2*4 = 8 teilbar.

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Das macht aufjedenfall Sinn und würde mein Problem lösen, aber wieso darf ich einfach -8-8 also -16 rechnen?

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Wenn 32 durch 8 teilbar ist, ist auch 24 durch 8 teilbar und 16 durch 8 teilbar.

Du hast ja selbst schon 8n subtrahiert :)

Answer 2

Vielleicht so: \((2k+1)^2+15=8\cdot\left(\frac{k(k+1)}2+2\right)\in8\mathbb Z\).