Matrix eines Endomorphismus

Question

Sei K ein Ko¨rper von Charakteristik p ≥ 0, und V  = Mat2(K) der Vektorraum aller 2 × 2-Matrizen.

Wir betrachten den Endomorphismus
: V → V, B → tB,
welcher die Matrix  a b  auf die transponierte Matrix    a c      schickt.
                               c d                                                  b d

(i) Beschreiben Sie ∊ End(V ) durch eine Matrix A ∊Mat4(K).
(ii) Berechnen Sie das charakteristische Polynom χA(T ) ∊K[T ].
(iii) Beweisen Sie, dass diagonalisierbar ist genau dann, wenn p ≠2.

Comments

Habe die Überschrift und das

Erscheinungsbild angepasst.

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Vom Duplikat:

Titel: Sei K ein Körper von Charakteristik p ≥ 0, und V = Mat2(K)

Stichworte: körper,vektorraum,lineare-abbildung,euler,komplexe

Sei K ein Körper von Charakteristik p ≥ 0, und V = Mat2(K)
der Vektorraum aller 2 × 2-Matrizen. Wir betrachten den Endomorphismus
f : V → V, B → ^tB,

welcher die Matrix ( a b _{c d} ) auf die transponierte Matrix ( a c _{b d} ) schickt.

(i) Beschreiben Sie f ∈ End(V ) durch eine Matrix A ∈ Mat₄(K).
(ii) Berechnen Sie das charakteristische Polynom χA(T) ∈ K[T].
(iii) Beweisen Sie, dass f diagonalisierbar ist genau dann, wenn p ≠ 2.

Answer 1

Wähle die Standardbasis von Mat2(K) und bilde jede ab

f(e1) = e1 
f(e2) = e3

f(e3)=e2

f(e4)=e4

Also ist die gesuchte Matrix

1     0     0     0
0     0     1     0
0     1     0     0
0     0     0     1

char Polynom =  (x-1)^3 * ( x +1 )

Also Eigenwerte 1 und -1 .

Für die Eigenvektoren zu x=1 ergibt sich die Matrix

0    0    0    0
0   -1    1    0
0    1   -1    0
0    0    0    0

hat genau dann Rang 1.

Für x=-1

2    0    0    0
0    1    1    0
0    1    1    0
0    0    0    2  also

2    0    0    0
0    1    1    0
0    0    0    0
0    0    0    2

Damit die rang3 hat, muss 2≠0 sein, also p≠2.