Hochrechnung , mit welcher formel kann das gelöst werden

Question

Aufgabe:

Da lagen nun einhundert Schlösser vor ihm, alle durchnummeriert von der Zahl 1 bis 100. Natürlich hatte er auch zu jedem Schloss den zugehörigen Schlüssel. Alle hundert, die vor ihm lagen, waren verschlossen. Da kam er auf einen Gedanken und machte den folgenden Versuch:
Im ersten Durchgang ging er hin, nahm jedes der Schlösser und veränderte dessen Zustand hinsichtlich verschlossen oder geöffnet. Nach dem ersten Durchgang waren damit alle Schlösser geöffnet.Beim zweiten Durchgang nahm er sich jedes zweite der Schlösser vor und veränderte dessen Zustand. Da jedes zweite geöffnet war verschloss er demnach jedes zweite.Im dritten Durchgang veränderte er den Zustand jedes dritten Schlosses. Fand er dies geöffnet vor, dann verschloss er es und umgekehrt.So setzte er seine Vorgehensweise fort bis er nach dem hundertsten Durchgang fertig war.
Die Aufgabe besteht nun darin herauszufinden, welche Schlösser nach dem hundertsten Durchgang geöffnet waren.

Problem/Ansatz:

Das

Problem ist das ich nicht weiß wie ich das errechen kann . mit welcher formel geht sowas , will ja auch was dazu lernen.

Danke

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vgl. auch https://www.mathelounge.de/1087615/

Answer 1

Im 3. Durchgang wird der Zustand der Schlösser 3, 6, 9, 12, ... geändert (also alle durch 3 teilbaren Nummern.

Im 4. Durchgang wird der Zustand der Schlösser 4, 8, 12, 16, ... geändert (also alle durch 4 teilbaren Nummern).

usw.

Wie oft jedes Schloss geändert wird hängt also davon ab, durch wie viele Zahlen sich die jeweilige Nummer teilen lässt.

Bei geraden Anzahlen von Änderungen hat ein Schloss wieder seinen Anfangszustand, bei ungeraden nicht.

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Und wie muss dann die Formel aussehen? Sorry Schulzeit ist schon echt lange her.

Und wie ist es dann mit den doppelt?

Answer 2

Man könnte z.B. mittels TabKalk sich ein Bild machen und nachdenken

Die gelb/roten sind die Schlösser, die angefasst werden. 0=zu,1=offen 

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100*100

Kann man das nicht mit net formel lösen. Ich mein klar ich kann ne Tabelle machen und die 10000 Optionen durchmachen und hinter her zählen aber das kann doch nicht die Lösung sein

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Kann man das nicht mit ner formel lösen ..

... kann man. Letztlich geht es darum ob die Anzahl der Teiler einer Funktion gerade oder ungerade ist. Nehme einen beliebige Zahl \(z\). Ist \(z\) durch \(a\) teilbar, so muss es eine Zahl \(b\) geben, für die gilt:$$z =  a \cdot b$$Die Teiler treten also immer paarweise auf, es sei denn, es existiert ein Paar \(a=b\) und das sind alle Quadratzahlen!

Damit reduziert sich das Problem auf die Anzahl der Quadratzahlen \(\le n\). Dann ist also die Anzahl der offenen Schlösser: $$\cdots = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$$

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Eine Formel schüttelt sich auch nicht einfach so aus dem Ärmel...

Man könnte z.B. die Ergebnisse aus dem 25er Block auswerten und versuchen die auf den 100er Block zu übertragen. Wenn Du ne Formel finden willst musst ja irgendwo anfangen, oder?

OK, hat sich erledigt...

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Ich mein klar ich kann ne Tabelle machen und die 10000 Optionen durchmachen und hinter her zählen aber das kann doch nicht die Lösung sein.

Was wächter damit sagen wollte, mache Dir nur eine Tabelle mit z.B. 25 Einträgen  und schaue, welche Schlösser offen sind. Und Du siehst an der Tabelle, dass es die Schlösser mit den Nummern \(1,\, 4,\, 9,\, 16, \, 25\) sind. Und dann überlege mal, was diese Zahlen gemeinsam haben ...

Und wenn Du das heraus hast, überlege wieso das so ist (s. mein letzter Kommentar)

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Web das den so einfach wäre. Also für mich der von Mathe nicht viel Ahnung hat ist das Schub schwierig....

Also 5 offene in den ersten 25 Einträgen

Zu 1, 4 9,16,25  2gerade 3 ungerade... Sonst mmmhhh.

Werd mal weiter drüber nachdenken

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Ich kann mich erinnern, dass einst einer meiner Mathelehrer, genau diese Folge $$1,\, 4,\, 9,\, 16, \, 25$$an die Tafel schrieb und uns fragte, was das für eine Folge sei, bzw. was die nächsten Zahlen sind. Ich antwortete damals, dass sich jede Zahl aus der vorhergehenden ergibt, wenn man nur die Differenz der letzten beiden plus 2 dazu zählt.

Mein Mathelehrer meinte dann zu mir: "das ist falsch" und wandte sich einem meiner Mitschüler zu.

Gelernt habe ich daraus: auch für Mathelehrer kann das zu schwierig sein!

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Quadratzahlen...

Answer 3

Nach dem 100. Durchgang sind die Schlösser 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100 geöffnet. Diese wurden nach ihrer letzten Öffnung nicht mehr verändert (bzw. beachtet).

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Also hab ich dann zwischen durch auch gedacht mit den Quadratzahlen und 10 geöffnet schlösser scheint aber falsch zu sein

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Also hab ich dann zwischen durch auch gedacht mit den Quadratzahlen und 10 geöffnet Schlösser scheint aber falsch zu sein

wieso soll das falsch sein?

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Das ist die frage. Das ist ein Teil einen Rätsels wo es ein checker gibt und der nicht grün wird mit der lösung...

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was genau muss denn beim Checker angegeben werden?

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X=10 laut unsererm Ergebnis

N 48 21. (X-186)E 007 47. (2 mal X + 111 das ist die Rechnung dazu also

N 48 21.176 e 007 47.131

Mir ist klar das bei n eigentlich ne - Ergebnis rauskommt das gibt's aber bei koordinaten nicht. Hab aber auch mal den owner von dem Rätsel angeschrieben... Da ja eigentlich 10 stimmen müsste

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es geht also um Geo-Caching ...

\(X=10\) ist die Anzahl der offenen Schlösser bei insgesamt 100 Schlössern. Ist vielleicht nach der Anzahl der geschlossenen Schlösser gefragt?

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Jup Es geht um geocaching

Die Aufgabe besteht nun darin herauszufinden, welche Schlösser nach dem hundertsten Durchgang geöffnet waren...

Nee geht um offene schlösser

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.. welche Schlösser ...

'welche' oder 'wie viele'?

und \(176 \textcolor{#f00}{\ne} X-186\) - vielleicht muss da \(\text{N} \space 48° \space 20,824'\) stehen ... ?

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Deine rg verstehen ich jetzt grad nicht wie ist auf die 824

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\(21,000 + \frac{|X-186|}{1000} = 21,176\)

\(21,000 + \frac{X-186}{1000} = 20,824\)

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Aber von wo nimmst die 21000? Versteh jetzt eh nur noch Bahnhof....

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Aber von wo nimmst die 21000?

.. von Dir! Du schriebst:

N 48 21. (X-186)E 007 47. (2 mal X + 111 das ist die Rechnung dazu

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Ah ok jetzt verstehe ich das