DGL bestimmen der Körpertemperatur

Question

ich habe folgende Aufgabe

Aufgabe:
Ein Körper besitzt zum Zeitpunkt t = 0 die Temperatur T0 und wird in der Folgezeit durch vor- beiströmende Luft der konstanten Temperatur TL abgekühlt. Der Abkühlungsprozess wird dabei durch die Differentialgleichung

T‘= − a ( T − TL )

beschrieben mit einer Konstanten a > 0

a) Ich soll den zeitlichen Verlauf der Körpertemperatur bestimmen

b) Welchen Endwert erreicht die Körpertemperatur.

Problem/Ansatz:

Ich komme auf keinen vernünftigen Ansatz..

Answer 1

Hallo Lowiee,

Du suchst eine Funktion, deren Ableitung direkt proportional zu ihrem Funktionswert (minus einer Konstante) ist. Diese Funktion ist die e-Funktion. Mache daher den Ansatz:$$T(t) = b \cdot e^{ct} + d$$ mit den (noch) unbekannten Parametern \(b\), \(c\) und \(d\). Ableiten gibt:$$T'(t) = bc \cdot e^{ct}$$Einsetzen in die DGL \(T'= − a ( T − T_L )\):$$bc \cdot e^{ct}= − a ( b \cdot e^{ct} + d − T_L )$$nach dem Koeffizientenvergleich ergibt sich:$$c = -a; \quad d = T_L$$und \(b\) ist noch frei wählbar. ich setze \(b=C\). Dann lautet die allgemeine Lösung der DGL$$T(t) = C \cdot e^{-at} + T_L$$ und die Konstante \(C\) ergibt sich aus der Anfangsbedingung$$T(t=0) = T_0 = C \cdot e^{-0} + T_L \implies C =T_0 -T_L$$